刚体的定点运动

出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册上》第78页（1975字）

2．6．1 欧拉角和运动方程

刚体运动时，其上或与其固连的空间内存在一个始终不动的点，则刚体的运动称为定点运动。确定定点运动刚体的瞬时位置需要三个独立参数。由欧拉首先提出的三个独立参数称为欧拉角。即以定点O为原点建立定坐标系Oxyz，以及与刚体固连的坐标系′，如图1．2－13．其中平面Oxy和Ox′y′的交线为ON，称为节线。欧拉角是指下列的三个角：1．进动角ψ(为ON与OX的夹角)；2．章动角θ(为平面Ox′y′与Oxy的夹角，即Oz与Oz′的夹角)；3．自转角φ(为Ox′与ON的夹角)。显然，一组欧拉角的值(ψ，θ，φ)唯一地确定了刚体在空间的一个位置；欧拉角随时间t的变化规律，唯一地描述了刚体的运动规律。因此，欧拉角以时间t为自变量的单值连续函数，

称为刚体定点运动的运动方程。

图1．2－13 欧拉角

2．6．2 刚体定点运动的分解

根据欧拉角的定义，刚体定点运动可分解为以下三种定轴转动：

① 动坐标系Ox1y1z1相对于定坐标系Οxyz，绕轴Οz作定轴转动，其转动方程称为进动方程，即

ψ=Ψ(t)

②动坐标系Ox₂y₂z₂相对于动系Οx₁y₁z₁，绕轴Ox₁作定轴转动，其转动方程称为章动方程，即

θ=θ(t)

③刚体(或Οx′y′z′)相对于动系Οx₂y₂z₂，绕轴Οz2作定轴转动，其转动方程称为自转方程，即

φ=φ(t)

因此，刚体的定点运动可以视为以上三种转动的合成。反之，以上三种转动又可以视为刚体定点运动之分解。即

2．6．3 相交轴转动合成定理及刚体定点运动的欧拉运动学方程

相交轴转动合成定理：设动系相对于定系的转动，同时刚体又以角速度2相对于动系，绕与动系转轴相交的另一轴转动，则刚体相对于定系的瞬时运动亦为一转动，其转轴与以上两轴交于同一点，其角速度等于以上两角速度，的矢量和，即

(1．2－29)

这一性质称为相交轴转动合成定理。

刚体定点运动的欧拉运动学方程：根据刚体定点运动的分解和相交轴转动的合成定理，刚体定点运动的任一瞬时运动都可视为瞬时转动，因此，定点运动也称为定点转动。刚体定点运动的角速度等于进动、章动和自转角速度的矢量和，即

角速度矢量在刚体坐标系Οx′y′z′上的投影

分别为

上式给出了刚体瞬时转动角速度与欧拉角及其对时间t的导数之间的关系，称为刚体定点运动的运动学方程。

2．6．4 定点运动刚体上各点的速度

刚体定点运动时，任一瞬时的运动可视为瞬时的转动，故刚体上各点的速度亦可表示为

(1．2－31)

式中为刚体上一点相对于定点的矢径。写成在刚体坐标上的投影式则为：

式中 (x′，y′，z′)为点在刚体坐标系中的坐标值。2．6．5 定点运动刚体的角加速度和刚体上点的加速度。

角加速度：和定轴转动不同，定点运动的角速度不仅大小而且方向也随时间t在不断改变。反映角速度矢量改变快慢的物理量称为定点运动的角加速度，用表示，有

定点运动刚体上点的加速度：已知刚体的角速度和角加速度，则其上一点的加速度可表示为

分别称为旋转加速度和向轴加速度。旋转加速度沿()平面的法向，一般并不与速度共线；向轴加速度，恒垂直并指向瞬时转轴，但不沿点的运动轨迹的主法线，见图1．2－14。

图1．2－14 定点运动刚体上点的加速度