数论函数值分布

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第31页（3845字）

对于数义在自然数集N上的数论函数(Arithmetioa function)f(n)，n∈N，取值可以是实数，也可以是复数(一般为实数)，例如着名的Euler函数φ(n)，除数函数τ(n)，以及除数和函数σ(n)等等。

由于其分布的复杂性，过去一般采用均值估计的办法，这方面已有不少成果。

20世纪50年代开始，有人开始对若干数论函数，如上述φ(n)，τ(n)以及σ(n)等采用初等方法，对其函数值的分布作了些新的探讨。

Somayaiult，Seirpinski与Schinzel等，曾获得了一些有趣的结果。这里应当提到的是，当50年代初，Sierpinski与Schinzel的论文发表后，华罗庚指出，采用Brun筛法可以导致φ(n)，σ(n)值分布的精密结果，闵嗣鹤完全赞同华罗庚的见解，并认为采用Brun方法还可相当深刻的解决Schinzel问题。

沿着华罗庚指明的方向，王元、邵品琮与Schinzel相继相互独立地证实了华罗庚的预见。也完全解决了A．Schinzel的除数函数值分布的问题。

在数论函数值分布的研究过程中，一个非常深刻的转折性结果是王元在50年代末的一项研究工作。王元将АиннHKRenyi新筛法与Brun方法相结合创建了新方法，建立了一个非常有效的基本引理就可以将上述关于φ(n)，σ(n)及τ(n)的值分布性质均跃进到素数集上成立。

对于Hardy-Wright函数H(n)=φ(n)·σ(n)／n²，在附近密集的分布也有很好的性质，邵品琮运用王元方法在索数集上考察有比原Hardy-Wright不等式更强的结果，吕新忠对HardyWright数论函数作了进一步的推广，也获得了比原先更强的结果。

80年代初，邵品琮对于Ω(n)，及ω(n)这两个与素因子个数有关的函数及一类稍为广泛的数论函数均作出了相应精密的值分布结果。

1956年3月，匈牙利Hajos访华时，转达了匈牙利Erdos提出的一个除数问题，Erdos原来的问题为：任给正整数k及n₀，是否存在自然数n，使当n＞n₀时，有：

邵品琮仍用筛法，解决了Erdös问题，并得到比猜想(E)更强的结果。特别是如今运用王元的新筛法来彻底回答Erdös除数问题，有比原来Erdös猜想更深刻得多的结果。

有：定理E：任给正整数k，n₀，m和M＞I，一定存在素数p＞n₀，且满足

log^(m)r(p+1)＞M·Ⅱ_τ(p+1+v)·τ(p+1－v)，(E₂)

其中log^(r)x=loglog^(r－1)x，而log^(o)x=x(r=1，2，…，m)．进一步讲，在(1，X)内满足(E₂)的素数p的个数N^*(X)，当X充分大时，有：，

其中C^*=c^*(k，n₀，m，M)是一与X无关的正常数。

90年代初，邵品琮对于一般数论函数f(n)定义它具有Erdōs强度，是指：如果任给正整数k及n₀，总存在自然数n，满足n＞n₀，且有： f(n)＞nf(n+v)·f(n－v)(E^{* *})

80年代的工作已证明了除数函数τ(n)具有Erdös强度。

运用筛法手段，对于w(n)与Ω(n)，以及演变了的EuLer密度函数(n)=(n)／n，和Hardy-Wright的密度函数H^*(n)，均具有Erdos强度，而且可以在素数集上取值予以表述。

一个数论函数f(n)称为可加的(additive)指：f(mn)=f(m)+f(n)，(当(m，n)=1)，f(n)称为可乘的(mnltiplicative)是指：f(mn)=f(m)f(n)，(当(m，n)=1)。

如果对一切m，n(不论互素与否)均有f(mn)=f(m)+f(n)，或f(mn)=f(m)f(n)，则称为完全可加的(completely additive)或完全可乘的(completely multiplicative)。例如：Ω(n)，ω(n)为可加函数。

σ(n)，φ(n)，τ(n)为可乘函数。文献说明了上述具体可加与可乘函数在值分布方面具有的一些有趣的性质。

反过来，如果一个数论函数，已知一些值分布的性质，能否指明为何种数论函数呢?关于这方面问题，P．Erdos首先指出：一个可加函数如果满足条件

f(n+1)=f(n)+o(1) (当n→∞)

则它是完全可加的，且f(n)=c(logn)，c为某常数。

I．Katai接着将上述条件降弱为_：∑｜f(n+1)－f(n)｜=o(x) (当x→∞)

时，仍有f(n)为完全可加的。F．Skof给出另外条件仍有f(n)为完全可加的。

1980年，Mauclarre与Murata曾得到联系Skof与Katai两者结果的结果，一般地讲，记实数z到它最近的整数的距离为‖Z‖，则根据Muclaire与Murata的结果可得出下列结果：定理M．若f可加，且：l／x∑‖f(n+1)－f(n)‖→0 (x→∞) (A)则f为完全可加的。

I．Katai猜想，若f(n)可加，且满足(A)则有：

f(n)=clogn+g(n) (B)

其中c为一常数，而g(n)为一整值可加函数，但katai猜想至今未被证实，Katai首先假设：‖f(n+1)－f(n)‖=O(1／n) (1)之下，得出了(B)的结果。1982年Katai将条件降弱，定理K：若f(n)是可加的，且：n‖f(n+1)－f(n)‖=O(n^v) (2)

此处V＜1，则(A)成立。

接着，1983～1984年间，Katai在此基础上写了一系列文章，主要是针对下列两个主要问题进行讨论研究：(1)设f为复值完全可乘函数，且满足lim∑αif(n+i)=0 (*)

此处a₁(i=0，1，…k)为绝对常数。是否能由(*)全部决定出f(n)?(2)设K为一正整数，f与g为复值可乘函数，且满足：

∑｜g(n+K)－f(n)｜／n＜∞， (* *)

是不是能够决定出满足(* *)的一切f与g?关于条件(*)及(* *)的研究总与特征函数clogn，n0(c为常数)有关，经条件的分析，所获得的结果是十分有趣的。关于Katai猜想，Katai曾证明了，当f满足‖f(n+1)－f(n)‖=O(1／n)时，有结果为(B)式。嗣后，Katai又改进为：当f满足‖f(n+1)－f(n)‖=O(n^－ε)时，此处ε＞0为任意小常数，则(B)成立。

1984年，Katai又进一步改进，当f满足‖f(n+1)－f(n)‖=O((logn)^－2)时，则(B)成立。

1987年在加拿大Quebec国际数论会议上，邵品琮曾用初等特殊的方法，将f附加条件‖f(n+1)－f(n)‖=O(exp(－A(logn)^k))时(B)成立，当然结果不如上述Katai的结论，但Katai认为方法有潜力，循此建议，最近邵品琮与唐元生获得了比上述Katai结果更好的下列结果：若f满足‖f(n+1)－f(n)‖=O((log^(m)n)^－1)，其中log(m)n=loglog…logn，则(B)成立。

。【参考文献】：

1 Shao pin-tsung．Bull．Acad．Polon．Sci．Ⅲ，1956，4∶569～572

2 王元．数学学报，1958．23(5)∶1～11

3 邵品琮．科学通报数理化专辑，1980，4～56

4 Mauclaire J－L，Murata，Leo．Proc Japan，Acad，1980，A56∶438～440

5 Katai I．Acta math Hungar，1984，43(3－4)∶259～272

6 Katai I．Acta math Hungar，1985，44(1－2)∶125～132

7 邵品琮．青岛大学学报(自然科学版)，1992，1～2∶1～8

8 Shao pincong．Journal of Qing-dao University，1991，4(3～4)∶38～49

(青岛大学邵品琮教授撰)