弱化的Hilbert第16问题

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第45页（4085字）

第16问题的研究，仍然是当今非线性微分方程研究领域最基本和最富挑战性问题之一。

1990年5月22日，美国S．Smale在美国Los Alamos国家实验室召开的“非线性研究10年”国际会议上，作了标题为“动力系统回顾：尚待解决的大问题”的邀请报告，提出了十大问题，其中的第7问题就是Hilbert第16问题。他说这个问题是Hilbert提出的23个问题中“最难捉摸的一个”。鉴于一般的Hilbert第16问题的困难性，1977年前苏联Arnold提出了以下弱化的Hilbert第16问题：“设H为变元(x，y)的n次多项式，p为m次多项式，问函数

可能有多少个实零点?”

函数I(h)的实零点个数与Hilbert第16问题有什么关系呢?实际上这个问题涉及具有多项式Hamilton量的Hamilton系统的非保守扰动。根据20世纪30年代前苏联Pontrjagin和50年代中国张芷芬等人的工作，对于Hamilton扰动系统

x=H_y(x，y)+εP(x，y，ε)，

y=－H_x(x，y)+εQ(x，y，ε)，

倘若当h改变时，水平集H(x，y)=h是未扰动系统的某个闭轨族δ(h)，那么，考虑产生函数

当时，由I(h)的零点个数及其性质可以判定扰动系统可能产生的极限环个数。因此，弱化Hilbert第16问题实际上是问：对于给定的平面n－1次Hamilton系统(其首次积分为n次多项式)，在m+1次多项式非保守扰动下，扰动系统可能产生多少个极限环?如果水平集H(x，y)=h对应于若干族分离的闭轨道，弱化的Hilbert第16问题也涉及极限环的相对位置问题，由于多项式Hamilton扰动系统是一类特殊的多项式系统，因此Arnold问题是“弱化的”Hilbert第16问题。

注意到积分I(h)实际上是Abel积分，因此，前苏联Petrov等人将上述问题改述为：设

w=A(x，y)dx+B(x，y)dy

是微分1－形式，A(x，y)，B(x，y)与H(x，y)是多项式，问Abel积分

有多少个实零点?其中积分沿H(x，y)=h的闭轨族进行。

I_ω(h)的零点个数是否有限?1984年，前苏联Khovansky与Varchenko已解决这个有限性问题。后者的文章证明，对任何自然数n存在自然数C(n)，使得若A，B，H的次数不大于n，则Iω(h)的零点个数不多于C(n)。

前者的文章证明了更为一般的性质。

为研究I_ω(h)的零点，人们引入了以下的空间概念：由区间［a，b］上定义的n个函数｛f₁，f₂，…，f_n｝构成的实n维函数空间称为Chebychev空间，倘若这些函数的任何非平凡线性组合在［a，b］内至多有n－1个零点(包括重零点)，如果零点个数小于n+a，称该函数空间为具有精确度(accuracy)a的Chebychev空间。

对于 H₁=y²+x³－x，

H₂=x³+y³+xy，

H₃=y²±(x²－y⁴)，

ω的次数小于或等于n情形，I_ω(h)可表示为某些完全椭圆积分的线性组合。将I_ω(h)的定义域延拓到复域，Petrov的系列文章研究并证明了Iω的空间的Chebyehev性质，在Petrov的工作之前，对于H=H₁，ω的次数分别为2与3，Bogdanov与Il′yasenko也分别研究过类似问题，最近加拿大Rousseau与波兰Zoladek合作，对

，

H=y²－2x²+x⁴，

A，B的次数小于或等于n的情形，在对称性情况下，作了细致研究，给出了Chebychev精确度的估计，并证明Chebychev性质的精确度随形式ω的次数增加而增加。

除直接对I_ω(h)的零点性质作一般研究外，在动力系统分枝理论研究中，研究余维2分枝与高于余维2的分枝集，特别是关于旋转而不变的扰动向量场族的研究，大都归结于多项式Hamilton扰动系统的定性讨论。在这个方向上已经发表了数十篇文献，所采用的方法和结果都与弱化的Hilbert第16问题密切相关。几乎所有的国际上着名的动力系统分枝理论专家都在这个问题有所贡献。例如：前苏联Arnold、Il’yashenko、Neishtadt、Bogdanov、Silnikov等；美国的Hale、Chow、Guckenbeimer、Holmes、Chicone等；加拿大的Langford、Rousseau、Joyal等；欧洲的Carr、Takens、Zoladek、Cushman、Sanders、Dumortier、Roussarie、Van．Gils；巴西的Sotomayor等。

中国的数学工作者张芷芬、李承治、王铎、李继彬等或与外国数学家合作，或自己独立地在这个方向也做了许多深入的工作。

Hilbert第16问题分为上下两个部分，上半部分涉及n次平面代数曲线分离闭分枝的相对位置及代数曲面分离闭分枝的最大张数和相对位置，下半部分涉及二维n次多项式微分系统的极限环最大个数H(n)和极限环的相对位置。上文所述前苏联学者们关于Iω(h)的零点个数研究主要关心极限环的个数问题，对于极限环的相对位置问题很少问津。1987年在长春召开的第2届全国常微分方程定性理论会议上，笔者曾作过《关于弱化的Hilbert第16问题的研究》的综合报告。

在该报告中，笔者认为：弱化的Hilbert第16问题，实质上是Hilbert第16问题上下两半部份的统一，并非弧立地研究该问题的后半部。

事实上，为研究多项式Hamilton扰动系统的动力学性质，第一步必须知道未扰动的Hamilton系统有什么样的全局相图。

对n－1次Hamilton系统，实际上是要知道n次代数曲线族的全局性质，在此基础上，对于附加的多项式扰动项，利用未扰动系统已知的全局知识去获取扰动的不可积系统的大范围性质。因此，平面代数曲线分立闭分枝的相对位置与多项式系统的极限环个数和分布研究是统一的。

在“弱化”的框架下，为研究Hilbert第16问题的后半部，首先要研究Hilbert第16问题的前半部。

居于上述思想，笔者与黄其明、刘正荣、林怡平等合作，自1985年起详细地讨论了一类对称3次Hamilton扰动系统的全局与局部分枝，证明希尔伯特数H(3)≥11，极限环呈多重相包的复眼分布。而且平面多项式Hamilton系统有什么样多重相包的闭轨分布，经过扰动可以获得同样相包类型的极限环分布。

换言之，n次Hamilton系统闭轨族中“眼内的眼”有什么复杂的样式，扰动的可积系统也会出现极限环分布的同样样式，并且同一“眼”中，极限环可能是成串的。

在Pontrjagin、张芷芬、Melnikov等工作的基础上，笔者还总结和提出了讨论Hamilton扰动系统全局与局部分枝相图统一的“判定函数法”。

综上所述，“弱化的Hilbert第16问题”已经获得许多引人注目的结果。

然而，人们仅对Hami lton量为4次多项式以下的情况作过较一般的研究，对于任给的n(n＞4)次多项式Hamilton量，仍是尚未解决的问题。Hilbert说过：“重大的个别问题是数学的活的血液”、“只要一门科学分支能够提出大量问题，它就充满着生命力”。

弱化的Hilbert第16问题的研究继续为数学家们提供大量的用武之地，它将对数学和其它科学的发展产生广泛的影响。

。【参考文献】：

1 Bogdanov R I. Trudy Sem Petrovsky(in Russian), 1976,2: 23～35

2 Arnold V I. Fields, Func Anal Appl ,1977,11(2):1～10

3 Varchenko AN. Func Anal,1984,18:98～108

4 Knovansky A G. Func Anal Appl,1984;l8:119～128

5 Petrov G S. Functional Anal Appl, 1984,18:148～150

6 Carr J, et al.JDiff Eq, 1985,59:417～463

7 Jibin Li et al. Acta Math Sinica, 1985,28:509～521

8 李继彬．昆明工学院学报，1985，13(1)∶94～109

9 Rousseau C，et al．J Diff Eq，1991，94∶41～54

(昆明理工大学、云南省应用数学研究所李继彬教授撰)