镜象理论

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第230页（3707字）

电磁理论的基本问题是在一定的介质中求解满足边界条件的Maxwell方程。

对于三维问题，在单位强度点源的情况下，求得的解叫做Green函数。按照唯一性定理，给定边界条件，域上的值就可以唯一地被确定。这样，就可以在不含真实源的区域内适当的位置上放虚拟源也即镜象来代替实际的边界以满足边界条件。因而在真实源区，求解边值问题的Green函数就被简化为求取自由空间的点源及其镜象的解。

这就是镜象理论。由于上述的镜象理论的宽广的内涵，因而它在电磁理论中有很重要的作用。

它不但用于求解静场问题也用于求解交变场和瞬态场，所涉及的问题包括天线、散射和逆散射、各种微带或波导结构、探地、高压工程等。

镜象理论最早是从研究理想导体平面结构开始的，20世纪60年代以后，扩展到了研究平面分层介质，1968年Silvester找出了平面分层介质的电荷镜象，得到了这种结构的静态空域Green函数，并且用它成功地分析了微带传输线的横电磁波特性。

1978年Chow等人发展了上述镜象理论，他们考虑了电荷的交变性，因而是一个动态模型。所得出的微带衬底近似动态空域Green函数，可用来分析微带线的色散特性和微带不连续。

由于这种镜象还是从电荷镜象出发，考虑波动效应不可能在整个分界面满足边界条件，因而还是一种低频近似或者说是近场近似，它所适用的距离范围和衬底参数范围都受到一定的限制。这种Green函数十分简单，物理概念也很清晰，许多情况下仍有实用价值。

平面分层介质Green函数的精确解可以由谱域方法得到。此时，把点源产生的球面波看成是包含实和复在内的各种波谱的平面波或柱面波的叠加，前者对应于Fourier变换，后者对应于Hankel变换。

在谱域内，不论是平面波还是柱面波，场量在整个平面上都具有相同的边界条件，因而边界条件很容易严格被满足。把所有波谱叠加起来，也就是说做谱域积分就可得到所要求的解。

这个积分是1909年Sommerfeld给出的，因而以他的名字命名，简称为SI。由于它的被积函数变化激烈，因而数值积分比较困难。

关于这个积分的有效计算方法的研究直到最近还在进行，文章也很多。1982年Mosig等人用一种有效的数值积分方法计算了微带衬底的精确Green函数，这个函数在近似条件下与Chow用镜象理论导出的近似Green函数完全吻合。这就使得对于Chow的镜象的近似性的分析有了严格的依据。

由于SI的数值积分还是很费机时，寻求近似镜象仍是追求的一个目标。另一种途径是从SI出发，用解析方法把SI的积分核近似表示成法向(与分界面垂直的方向)波数的指数级数。在交换求和与积分的次序之后，谱域积分可以解析积出，并且可以导致镜象解释，也就是说，除原来的源以外，级数中的各项的贡献相当于镜象的贡献。

这个级数近似展开式不是唯一的，在不同的近似条件下所得到的近似展开式其适用范围和精度也不尽相同，所得出的镜象丰富多彩，例如可以是若干个离散镜象或者离散镜象加上连续镜象等。1984年Mahmoud在Wait，Bannister，Mohsen和Metwally等人工作的基础上对不同的展开方法作了统一的处理，这可看成是对这方面成果的一个阶段总结。

这些镜象已被应用于地球物理探地，地下或水下通讯等方面，取得了很好的效果。

1984年Lindell等人提出了平面分层介质的精确镜象理论(EIT)，这是镜象理论的重要进展。

这个理论的出发点是用解析方法把SI的积分核表示成法向波数的指数积分。在交换积分次序之后，谱域积分可以很容易地求得，空域积分则代表空间连续镜象的贡献，这个积分的被积函数变化平缓，数值积分比较容易。

由于这种镜象的得到是从SI出发，并且没有作准静近似，因而包含了所有波动现象，因而也叫全波连续镜象。这种镜象的使用，原则上没有什么限制，但是对不同的分层介质结构和不同的源要分别作数学处理，有些情况下空域镜象也可表示为级数形式。这种镜象已被用来分析微带衬底结构，两层介质的透射场等。

1988年Fang等人在Cui的工作的基础上提出了全波离散镜象理论(FWDIT)。这个理论出发点是用数值方法把SI的核表示成法向波数的指数级数。所用的数值方法是Prony方法。

在精度不够的情况下再用非线性优化方法。这时，Prony方法所得到的结果就作为非线性优化的初值。这种方法不需要对不同的分层介质结构作特殊的处理，具有很好的通用性，并且也具有高的计算效率。但是这种镜象在近区和远区之间的中间区，有时还需要用“接力”的措施，这种镜象已被用来分析电磁散射，近地和埋地天线，微带天线阵等许多实际问题。

1990年以来，Yang等人又对全波离散镜象进行了许多改进，发表了一系列文章，其中包括推广到屏蔽微带结构和有耗介质，给出了不用接力全程适用的Green函数表达式，厚薄相差悬殊的微带结构慢收敛Green函数的处理以及结合实际测量求取复镜象等。

镜象理论除了在上述平面分层介质方面有许多重要的进展以外，在处理非平面结构方面也有许多有意义的进展。

最典型的是最优化模拟镜象技术(OSIT)。这种技术可以处理任何复杂边界的凸的几何形状。

例如对一个给定的导体，可以在它的内部放上源，要求这些源在导体表面在均方误差最小的意义下满足边界条件，在源的个数给定后，这些源，包括它们的位置，就可以用非线性优化的方法让计算机去找。这些源实际上就是镜象。

对于静场问题，它们是电荷，对于交变场，它们是电偶极子和磁偶极子。1982年Chow等人用这种技术计算了立方导电体，圆导电柱等的电容及电容的上下界。

Chow等人还用这种技术求解了导体的雷达散射截面，分析了雨滴的散射特性，解决了一批高压工程中所遇到的实际问题。事实上，最优化模拟镜象技术和近年来发展起来的多极子技术(GMT)和等效虚源法也是完全相通的，这些技术把解析方法与数值方法结合起来，对处理复杂边值问题十分有效，例如中国学者曹伟等人用等效源法成功地分析了波导不连续问题。盛剑霓等人在《工程电磁场数值分析》(1991)的着作中，对等效源法有系统的总结。

古典的镜象理论经过近几十年丰富和发展焕发了青春，并且还有广阔前景。这方面的研究工作还在不断深入，研究热点大致有以下几个方面：(1)现有理论和技术，其中包括EIT，FWDIT，OSIT，GMT等的继续发展，这方面最近仍有不少文章发表；(2)时域镜象的研究也已经展开，这是一个有实际意义的新的研究课题，目前尚属起步(Nikoskinen，1991)；(3)非平面复杂介质镜象的研究，其中包括球型和柱型介质，非平面分层介质，手征(chiral)介质，Tellegen介质及其它各向异性介质(Lindell，1992)，这些方面还有许多研究工作有待进行；(4)磁流镜象的研究。

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【参考文献】：

1 Chow Y L , Ibrahim N E. IEEE Trans Microwave Theory Tech,1978,26:978～983

2 Mosig J R, Gardiol F E. A dvances in Ehectronics and Elec-tron physics,Academic Press, 1982,139～237

3 Chow YL,Lan Y F, Fang D G. J Appl Phys, 1982,53:7144 ～7148

4 Mahmoud S F. IEEE Trans. Antennas. Propagat,1984,32: 679～683

5 Fang D G, Yang J J, Delisle Y G. IEEE Proc. H. Microwaves, Antenna &Propag,1988,135:297～303

6 曹伟，龙斌，电子学报，1991，19∶57～64

7 Nikoskinen K I．IEEE Trans．Antennas Propagat，1991，39∶698～703

8 Lindell I V．Ibid，1992，40∶228－233

(南京理工大学方大纲教授撰)