概括原则与悖论

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第6页（3355字）

德国康托尔(Cantor)于19世纪初创立了集合论，它是整个数学的基础。

但后来集合论中出现了悖论。悖论直接关系到整个数学的奠基问题，从而导致数学的第3次危机。通过对悖论的分析，普遍认为悖论的出现与概括原则中的那种造集的任意性有很大关系。

然而概括原则又显得那么自然、直观，使用起来又那么方便。能否不立足于概括原则的修改而排除悖论?或者非修改不可，如修改如何寻找一种方案，使之既能排除悖论又能全面保留概括原则的合理内容?这些问题长期以来一直成为数学家们的研究课题，并取得了一系列重要的研究成果。

概括原则是康托尔创建古典集合论的重要思想方法之一。所谓概括原则，是指任一个性质P，就能把所有满足性质的P对象，也仅由这些具有性质P的对象汇集在一起而构成一个集合。用符号来表示就是G=｛g｜p(g)｝或者(g))。概括原则在一阶逻辑中不是一条公理而是公理模式，因而是无穷多条公理：

通常用∑₀表示所有的概括原则公式所构成的集。如果对其中的公式ψ加以各种不同的限制，就能构成∑₀的各种不同的真子集，通常记为∑₁，∑₂，……等。这是一些特殊类型的真包含于∑₀的概括原则公式的集合。换句话说，概括原则可以根据实际情况加以适当的限制和修改。

1900年前后，在集合论中出现了两个着名的悖论：康托尔悖论和罗素悖论。它们直接动摇了集合论作为整个数学大厦的基石，冲击了以严谨着称的数学和逻辑学科。对于种种排除集合论悖论方案的提出和研究，经仔细分析，以下4方面不能同时成立：

①是一个条件(含x的语句)，

②任给一条件ψ(x)决定一集合A，即，

③集合为个体之一，因而x处均可代以A，

④为一矛盾。

否则，若设①、②、③、④同时成立，则由①可知，取为一条件ψ(x)，由②可知有A使，由③可知有A∈A，由④必须承认为一矛盾。这说明①、②、③、④中至少要否定一条。20世纪初，罗素(Russell)从否定①即否定作为造集谓词而发展他的类型论；策梅洛(Zermelo)和弗伦克尔(Fraenkel)基于否定②而构造ZFC集合论公理系统；贝尔奈斯(Bernays)和哥德尔(Gödel)基于否定③而形成了BG集合论公理系统；波茨娃尔(BoчeBap)以否定④为起点发展他的多值逻辑。类型论、ZFC和BG都能排除已知的逻辑数学悖论。然而不能令人满意的是对于悖论的排除都立足于概括原则的修改，而且在排除悖论的同时过多地限制了概括原则的合理内容，以致许多合理的数学内容由此而被抛弃了。因而应寻找一种修改概括原则的方案，使之既能排除悖论又能最大限度地保留概括原则的合理内容。对此波茨娃尔提出保留概括原则，改二值逻辑为多值逻辑，希望由此而既能排除悖论，又能保留概括原则。下面具体地评价有关这些方面的研究工作。

关于多值逻辑系统与概括原则的相容性问题，中国莫绍揆首先迈出了关键性的一步。

1954年，他证明任一数学系统，如果满足：①概括原则成立，②p→p，(3)(p→)ⁿ⁺¹q可得(p→)ⁿq，则此系统必定包含悖论。并具体验证了卢卡希维奇(Lukasiewicz)有穷值逻辑系统￡_n(3≤n＜ω)加上概括原则之后，就是这样一个系统。这表明在经典数学范围内，不修改概括原则，而单独发展有穷的多值逻辑系统，则无法避免悖论。然而由于卢卡希维奇无穷值逻辑系统￡_x0不满足上述条件③，因而莫先生所给的方法，不能判定无穷值逻辑系统与概括原则是否相容。

20世纪60年代，这一问题的研究又取得了新的进展。先是斯科伦(Skolem)，接着张辰中(C．C．Chang)及芬斯特(Fenstad)各自用不同的方法证明了卢卡希维奇连续值逻辑系统￡_i与几种特殊类型的概括原则公式集∑₁、∑₂、∑₃等等之间的相容性。

但是￡_i配以∑₀之后是否相容仍然没有作出明确答复。但应指出，即使对此问题作出肯定的答复，也还不能表明，在概括原则之外，再配以其它集合论公理后，仍能与￡_i相容。张辰中就曾证明：在概括原则公式集∑₂，∑₃之外，再加上外延公理后，就不再与￡_i相容。但要发展数学，仅有概括原则而不加上其它集合论公理是不可能的。

1984年，中国朱梧槚和肖奚安证明任一数学系统，如果满足条件：①概括原则成立，②，③p→p，④集合的无穷并是允许的，⑤自然数系统被包含在内，则此数学系统必定包含悖论。考虑到任一内涵足够丰富的数学系统对于上述条件②～⑤总应满足，从而可得出结论：既要完全保留概括原则，又要排除悖论，同时还要发展数学，这在经典数学范围内是不能实现的，即若对概括原则不作任何修改，仅改变与之配套的二值逻辑而发展多值逻辑，则不能排除悖论。

从而使30年无大进展的难题终于获得彻底解决，并且这表明朱教授已把莫先生的结果从有穷推广到无穷，从卢卡希维奇一类逻辑系统推广到其它一切逻辑系统。

1984年以来，朱梧槚和肖奚安长期合作研究最终创立了中介数学系统MM(包括ML和MS)，并在这一非经典的数学系统中彻底解决了这一遗留问题。MM既不依赖于经典的逻辑演算系统，也不依赖于任何经典意义下的集合论系统。它是一种新型的、内涵丰富的、具有较强表达能力的非古典数学系统。

它处处贯穿一条中介原则，即承认有中介对象存在的反对对立面是存在的。对于ML而言，这是一种直接引入对立否定词=和模糊否定词～的逻辑演算系统，是一种有特色的三值系统。

它包括中介逻辑的命题演算系统，谓词演算系统和同异性演算系统。整个ML是为构造MS而直接准备的逻辑工具，而MS是一种既能处理清晰谓词造集问题又能处理模糊谓词造集问题的公理集合论系统。

在古典集合论中对于概括原则的使用必须有一个前题，那就是一切可用以造集的谓词都必须是清晰的；另外，概括原则实际上包含两层含义，其一是清晰谓词必可造集，其二是所造出的集由且仅由造集谓词决定。ZFC、BG、类型论等都是集中修改第一层含义，即这样或那样地限制造集的任意性。MS中则正好相反，一方面引进模糊造集谓词，另一方面放弃一谓词唯一确定一集的观点。它引入了概集和恰集的概念，进而引入泛概括原则。

MS中的泛概括原则全面修改了概括原则，但最终又在谓词与个体约束的情况下，全面保留了概括原则的内容。另外，在MS中已经证明：历史上种种逻辑数学悖论包括在ZFC中无需解释的多值逻辑悖论和无穷值悖论均可在MS中排除；在相容性问题上，凡是ZFC所取得的成效，在MS中均已实现。

概括原则与悖论的研究极大地推动了数学的发展。

中介数学这一新兴的研究领域正处在发展和完善之中，有许多理论问题亟待进一步研究，如MS的相对相容性、中介模型论、中介证明论、中介模态逻辑、中介代数系统等。

它的广泛应用尚处于探索阶段，有可能在人工智能、数据库、知识工程、模式识别、自动控制、专家系统等领域取得一系列应用成果。

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【参考文献】：

1 Moh Shaw-Kwoi．J．S．L，1954，19～37

2 Zhu Wujiia，et al．Proc．15th Intern Symp．MVL，1985，369

3 朱梧槚编着．几何基础与数学基础．辽宁教育出版社，1987，206～268

4 朱梧槚等．数理化信息，1987，2∶253～263

5 朱梧槚，肖奚安．中国科学(A辑)，1988，2∶113～123

(南京航空航天大学毛宇光博士、林钧海教授撰)