椭圆型方程弱解的有界性

书籍：现代科技综述大辞典上更新时间：2018-10-01 05:37:56

出处：按学科分类—自然科学总论北京出版社《现代科技综述大辞典上》第59页（3975字）

椭圆型方程最简单的例子是调和方程，它的解称调和函数。

在所有满足同样边值的可微函数中，调和函数使狄利希莱(Dirrichlet)积分取最小值。这个事实称狄利希莱原理。根据它，求解给定边值的调和函数可以归结为求狄利希莱积分的极小。

19世纪50年代黎曼(B．Riemann)用这样的方法第一个证明调和函数边值问题解的存在性。

但是黎曼的方法受到与他同时代的魏尔斯特拉斯(K．Weierstrass)的批评，因为只能讲狄利希莱积分有最大下界而不能断言达到最小值。为了解决狄利希莱原理存在的矛盾，需要把解的概念加以拓广并在相应的空间中求得它。

对一个主部为散度型的二阶椭圆型方程，用有紧支集的可微函数去乘，然后在所考虑的区域上求积分，经过分部积分之后即得一个积分恒等式，它只包含有未知解的一阶偏导数。一个函数能使积分恒等式满足，就称为原来方程的弱(广义)解。

由于弱解要求的条件比古典解少，可以较易和在较弱条件下求得它。当弱解有足够的可微性时它就是古典解。弱解概念的引入，特别是结合索波列夫(C．Л．Cоб0лeв)空间理论和泛函分析方法，使得对拟线性椭圆型方程理论的研究自20世纪50年代后期以来有了质的飞跃和蓬勃的发展。

20世纪30年代，经典的肖德尔(J．Schauder)定理解决了二阶线性椭圆型方程狄利希莱问题古典解的可解性问题。

对于一个拟线性二阶椭圆型方程，如能获得未知解自身及其一阶梯度的赫德尔(Holder)系数的估计，那么狄利希莱问题的存在性也就得到解决。但只有二维情形为尼伦伯格(L．Nierenberg)于1953年成功解决，空间维数n大于2的情形则有本质的困难。1956年柯德斯(H．O．Codes)只在对方程最高项系数矩阵的特征值加了限制(这种限制随着维数的增加越来越大)才作出了解自身和解梯度的赫德尔系数估计。

1957年笛乔治(E．de Giorgi)和讷什(J．Nash)几乎同时而又独立地对高维情形，证明只有主部的可测系数散度型二阶线性齐次椭圆型方程弱解的赫德尔连续性，1960年莫塞尔(J．Moser)又给出了另外的证明。

此后，一般形状的可测系数散度型二阶线性椭圆型方程弱解的赫德尔连续性、可微性以及解的其它性质都得到解决。对弱解的性质有了很好的认识：决定弱解的属性的是方程的结构条件和自由项的可积性属性。当自由项的可积性超过某个确定的幂次时，弱解是有界的并是赫德尔连续的；低于这个幂次时弱解是无界的，仅可能有某种确定的可积性；刚刚达到这个幂次时，弱解属于适当的奥尔里奇(W．Orlicz)空间。弱解的进一步可微性取决于方程系数和自由项条件的改善。对这些发展作出贡献的有斯丹帕奇(G．Stampacchia)、摩勒(C．B．Morrey)、拉迪任斯卡娅(О．А．Лaдыжeнcкaя)和乌拉利采娃(H．Н．ypальцeвa)等。

拉迪任斯卡娅和乌拉利采娃从60年代初即开始利用弱解研究二阶拟线性椭圆型方程，在解有界的前提下得到弱解的赫德尔连续性和进一步的可微性，并进而解决古典解的存在性。

她们的考虑尽管结构条件很广泛，却只限于非蜕化情形。1964年佘蔺(J．Serrin)第一次对主部为散度型的二阶拟线性蜕化椭圆型方程证明弱解(属于Wp′空间，p＞1)的有界性和赫德尔连续性。

佘蔺的结构条件是线性方程所满足的结构条件的最自然的推广，但还不是很一般的。此后拉迪任斯卡娅和乌拉利采娃考虑了散度型二阶蜕化椭圆型方程更一般的结构条件的情形。

如所已知，当1＜p＜n，W_p′空间中的函数只是p^*次可积，p^*=np／(n－p)是索波列夫嵌入定理所允许的极限指数。

因此当在Wp′空间中寻求解时，方程的非线性项关于未知解u的增长阶受到制约，不应超过某个临界指数；同时非线性项关于解梯度的增长阶不应超过p。实际上为使定义弱解的积分恒等式有意义，不应超过的情形称为自然增长情形，在这种情形为使定义弱解的积分有意义，需要增加未知解的可积性限制。拉迪任斯卡娅和乌拉利采娃限于方程的非线性项关于解的增长阶严格低于临界指数、关于解梯度的增长阶，证明了弱解的有界性、赫德尔连续性和存在性(对存在性的证明还要增加单调性条件的限制)。

她们也考虑自然增长的情形，在的情形要求未知解为有界(否则不能保证小范围内解的唯一性定理成立)并证明弱解的赫德尔连续性；在的情形由于解的有界性解决不了，不得不增加p=n的限制(在这种情形解u可以任意次可积)，而这是不必要的。自始至终弱解的有界性是伴随弱解的赫德尔连续性一起得到研究。有界性的解决乃是证明解赫德尔连续性必需解决的一步而且是极关键的一步，此外，弱解的有界性特别是解最大模的估计对于证明弱解的存在性也是重要的。

80年代以来，应用临界点理论使达到临界增长的欧拉(Euler)型拟线性椭圆型方程弱解的存在性取得重要进展，人们更渴求解决弱解的正则性。1989年朱熹平和杨健夫对达到临界增长指数的散度型二阶拟线性椭圆型方程作出弱解的局部有界性以及进一步的正则性。他们的考虑只限于非线性项关于解梯度的增长阶的情形。

同年梁廷在允许方程非线性项关于未知解u达到临界增长、关于解梯度的增长阶满足自然增长条件：，在增加弱解的适当可积性的前提下证明了弱解的整体有界性，此后于1991年又证明了弱解的局部有界性。尽管他们所用证明方法不同，但都充分利用了勒贝格(Lebesque)积分的绝对连续性来克服由于非线性项关于u达到临界增长所带来的困难。

和椭圆型方程密切有关的是变分泛函的极小问题，后者和希尔伯特(D．Hilbert)第20问题相联系。对于变分泛函，其被积函数关于u的梯度的增长阶是p时，最恰当的是在Wp′空间中寻求泛函的极小。

为了得到正则的解(指使泛函取极小的函数)关键是证明解的有界性。只要证明了解有界，那么无论解的赫德尔连续性或进一步的可微性都可以解决。至多在必要时增加关于被积函数的限制条件。无论是拉迪任斯卡娅和乌拉利采娃或贾昆塔(M．Giaquinta)和宙斯提(E．Giusti)都只能在被积函数关于u的增长阶严格低于索波列夫极限指数的条件下证明极小的有界。1991年在允许被积函数关于u的增长阶达到索波列夫极限指数的条件下，梁廷对不可微泛函的单侧障碍问题证明极小函数的有界性，已包括解决上述泛函极小有界性的遗留问题。

至于对散度型主部的二阶拟线性椭圆组，弱解的有界性研究仍然很不充分，技术上的困难也很大，一些对单个方程很有效的方法在方程组的情形不再适用。拉迪任斯卡娅和乌拉利采娃在60年代为了研究非散度型的一般拟线性椭圆型方程创立了对角型椭圆组的理论，并对属于W₂¹空间的弱解(向量函数)证明了解的有界性和赫德尔连续性，但是她们对未知解增加了不必要的可积性限制。1982年迈埃(M．Meier)对满足佘蔺结构条件的散度型主部的二阶拟线性椭圆组(弱解属于W_p′空间，p＞1)证明了弱解的有界性，包括局部有界和整体有界。

但迈埃的条件迄今仍不太清楚什么样的方程组可以满足。当方程组是对角型椭圆组时，迈埃的条件是满足的。1991年梁廷和鲁又文限于p≥2对散度型主部的对角型椭圆组(弱解属于W_p′空间)证明了弱解的整体有界性，允许方程组的非线性项关于未知解的模的增长达到临界指数，同时允许关于未知解梯度的模的增长阶满足条件：。