圆(球)素几何学

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第81页（2288字）

圆(球)素几何学，是在平面上以有定向的圆为基本元素，在空间中以有定向的球面为基本元素的几何学。

它不同于以点为基本元素的点素几何学，或以(无向)直线为基本元素的线素几何学。20世纪40年代初，姜立夫采用二阶对称方阵代表拉(Laguerre)氏圆(含有向圆和无向点圆)．用二阶埃尔米特(Hermite)方阵代表拉氏球(含有向球和无向点球)．进而用满足辛(Symplectic)条件的2×4矩阵表示李(Lie)氏圆(含拉氏圆、有向直线和无穷远点圆)和李氏球(含拉氏球、有向平面和无穷远点球)。

这样，分别对应于点素平面和点素空间的射影群、仿射群和度量群，圆素平面和球素空间的变换群就可以用辛群及其子群表示。于是经典圆(球)素几何获得新面貌，并有广阔的发展前景。华罗庚由此发展成矩阵几何学。

60年代初，姜立夫提出他的全部计划如下：

第1阶段：对称方阵与埃尔米特方阵(圆与球，超圆与超球)，辛群变换论［麦比乌斯Möbius)群、拉氏群、李氏群］，用方阵代数来研讨辛群几何学。

第2阶段：辛群曲线论与曲面论(圆列、圆汇，球列、球汇、球丛)，用活动标架法来发展辛群几何学(伪欧氏空间的微分几何)。

第3阶段：辛群联络空间(麦氏联络空间、拉氏联络空间、李氏联络空间)，用外微分法来推广黎曼几何与非黎曼几何。

早在1944年，姜立夫给出圆素和球素仿射变换的分类及其不变圆和球。1954年，姜立夫在中山大学科学讨论会上作了“圆素几何学的新面貌”的报告，用方阵代数完整而系统地建立了矩阵圆(球)素几何学，展现了第一阶段研究的重要而带基础性的成果。1956年，姜立夫还指导黄树棠利用拉氏圆(球)素仿射辛反演解决了古典的阿波罗尼(Apollonius)问题和它的推广。

1959年起，姜立夫结合研读嘉当(E．Cartan)的专着，开始利用活动标架法来研究一般拉氏圆列的微分性质。

何少辉利用伪循环活动标架，得到抛物型圆列的微分方程和弗朗内(F．Frenet)公式，以及这类圆列的一系列几何性质。黄树棠继而改用伪正交活动标架，得到椭圆型和双曲型圆列的相应的结果，从而对一般圆列的微分分类和属性获得了比较全面而系统的了解。

后一课题的研究延续到1985年，在吴大任的协助下告一段落。

60年代初，姜立夫孜孜不倦地用矩阵理论充实辛群解析几何的基础工作。

他对圆素辛变换进行分类，并确定每类变换的不变圆集。1985～1992年，黄树棠和杨淦在吴大任协助下，对圆(球)素辛反演作出全面系统的分类，并获得每类的不变圆(球)集。

还有许多基础性研究值得做。

如果把圆素平面上的拉氏圆看作三维仿射空间的点(z₁₁，z₁₂，z₂₂)或(ρ，ξ，η)，则圆素平面上的圆列和圆汇依次对应于点素空间的曲线和曲面。

又若取圆素平面上的度量det(z₁－z₂)=(ρ₁－ρ₂)²－(ξ₁－ξ₂)²－(η₁－η₂)²，而把看作点素空间中两点“距离”的话，这便属于三维闵可夫斯基(Minkowski)空间的伪欧氏(Euclid)几何学。

同理，球素几何学对应于四维闵氏空间的伪欧氏几何学，它实质上是狭义相对论的另一表达形式。

1989年，黄树棠协助郑敏珍研究了三维闵氏几何，获得了拉氏圆素几何关于圆矢量，线性圆列和线性圆汇，以及圆素仿射辛变换的一些基本性质。有关的研究尚待深入下去。

。【参考文献】：

1 Coolidge J L．A treatise on the circle and the sphere，1916，3～10

2 Blaschke W．Differentialgeometrie der Kreise und Kugeln，1929，4～6

3 姜立夫．科学记录，1942，1(45)∶257～262

4 华罗庚．Trans．Amer Math Soc，1945，57∶441～490；1947，61∶193～255

5 黄树棠．中山大学学报(自然科学版)，1956，2∶21～33

6 黄树棠．中山大学学报(自然科学论丛)，1984，104～122

7 杨淦．南开大学学报(自然科学版)，1987，1∶20～35；

8 吴大任编．姜立夫教授(1890－1978)纪念册．天津：南开大学出版社，1989，54～74

9 郑敏珍．漳州师范学院学报，1989

10 黄树棠．南开大学学报(自然科学版)，1986～1992

(中山大学黄树棠副教授撰；杨淦审)