塑性力学

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第154页（2842字）

是固体力学的一个重要分支，研究物体受力后，超过弹性极限而产生永久变形和作用力之间的关系，以及物体内部应力和应变的变化规律。

塑性力学以实验为基础，即从实验中找出受力物体超出弹性极限后的变形规律，并将这些规律进行归纳，提出合理的塑性状态时应力应变(或应变增量)之间的关系式，从而建立塑性力学的基本方程。塑性力学的基本实验有单向拉伸实验和静水压力实验。通过单向拉伸试验可以获得加载和卸载时的应力－应变曲线以及弹性极限和屈服极限的值。

而且由这里可以看出：在塑性状态下，应力与应变之间的关系是非线性的而且没有单值对应的关系。

由静水压力实验可以得出，静水压力只能引起金属材料的弹性变形而且对材料的屈服极限影响不大(岩石材料则不同)。

为了简化分析，塑性力学经常采用一些假设：(1)材料是各向同性和连续的；(2)材料的弹性性质不受塑性变形的影响；(3)平均正应力不影响材料的屈服，体积变形是弹性的。这些假设一般适用于金属材料，对于岩土材料则应考虑平均正应力对屈服的影响。塑性力学的应力应变曲线通常采用：(1)理想弹塑性模型；(2)刚塑性模型；(3)幂强化模型。

在复杂应力状态下，判断物体屈服状态的准则称为屈服条件，屈服条件是各应力分量的组合函数。

对于金属材料，最常用的屈服条件为最大剪应力屈服条件亦称特雷斯卡(H．Tresca)条件以及弹性形变比能条件又称米泽斯(R．Mises)条件；而对于岩土材料则常用莫尔－库伦MohrCoulomb屈服条件。对于强化材料，屈服条件将随塑性变形的增长而变化，改变后的屈服条件称为后继屈服条件或加载屈服条件。特雷斯卡屈服条件是一个线性代数方程，当知道主应力大小的次序后，使用这一条件较为方便，若不知道主应力大小的次序时，使用米泽斯条件较为方便，但在数学上则要联立求解一个非线性代数方程和一组偏微分方程式。

此外，屈服条件主要应根据具体材料来选择确定。德国的洛德(W．Lode)发现对于韧性较好的材料，米泽斯屈服条件与试验数据符合较好。由于塑性变形与变形历史有关，因此塑性应力－应变关系用增量形式给出较为方便，用增量形式表示塑性应力－应变(或应变增量)关系的理论称为增量理论。

增量理论在理论上是合理的但应用起来却比较麻烦，因为要积分整个变形路径才能获得最后的结果。

采用全量形式表示塑性本构关系的理论称为全量理论。在比例变形的条件下可通过积分增量理论的本构关系获得全量理论的本构关系。

由于全量理论使用方便，因而常常用来求解问题。一般说来在偏离比例变形条件不大时，全量理论的计算结果和实验结果比较接近。

这个理论以伊柳辛(A．A．Iliushin)给出的比较完整，数学表达式也比较简单。

求解塑性力学边值问题时，所使用的平衡方程、几何方程以及力和位移的边界条件都同弹性力学中所使用的完全一样，只是物理关系不能再采用弹性力学中的胡克定律而是采用塑性增量或全量的本构关系。由于塑性本构关系是非线性的，因而在求解具体问题时往往需要进行合理的简化，找出解决问题的方法，再进行求解问题。在塑性力学中，常用的求解方法有：

(1)简单弹塑性问题。

又称弹塑性静定问题，由于所求的各未知量的数目和已知方程式的数目相同，只采用平衡方程和屈服条件便能将问题中的各未知量找出。梁的弹塑性弯曲，圆柱体弹塑性扭转和受内压或外压作用的厚壁圆筒和厚壁圆球的分析都属于这类问题。

(2)滑移线法。

适于求解塑性平面应变问题。

因为在这类问题中，不仅可作为最大剪应力迹线的滑移线是两族正交曲线，变形体中各点的平均应力等于应力第一不变量，米泽斯屈服条件和特雷斯卡屈服条件具有相同的形式。由于这一方法满足塑性力学的全部条件，因而所得到的解为完全解。

采用的是刚塑性材料模型假设，最大剪应力等于材料的剪切屈服极限。使用滑移法能找出变形体中各点的应力分量和相对应的位移增量分量。

(3)界限法。又称上、下限法。由于要找到满足全部塑性力学方程的完全解比较困难，界限法将塑性力学方程分两类，第一类中包括平衡方程、屈服条件和力的边界条件，这些条件称为静力条件，如一个解能满足全部静力条件则称这个解为静力解，用静力解所求得的极限载荷一定比完全解的极限载荷小，最多和完全解的极限载荷相等。另一类方程中则包括外力所作的功等于物体内部所耗散能的条件及结构的几何边界条件。

这种方法称机动法，用机动法求解的极限载荷比用完全解所求得的极限载荷大，最多和完全解的极限载荷相等。

(4)主应力法。假定剪应力对材料屈服条件影响很小，这时屈服条件简化为线性代数方程式，同时假定相对某一个轴主应力分布是均匀的。

将简化后的屈服条件和平衡方程联立求解，不仅能获得各种工艺过程的极限载荷而且能找出各应力分量的分布规律。

(5)参数方程法。当采用米泽斯屈服条件时，往往采用满足屈服条件的参数方程。将参数方程代入平衡方程后，再按边界条件求出积分常数从而得到问题的解。

(6)加权残值法。

首先应假设一个试函数，在试函数中包括一些待定常数。

将试函数代入平衡方程和屈服条件后或边界条件后，一般得不到满足，因而产生残值，在残值中包括待定参数。通过消除残值的条件可以获得一组以待定参数为未知量的代数方程组。由这一方程组求出下限解的一个加权平均值。

(7)有限元法。经常使用的有弹塑性有限元和刚塑性有限元。

其优点是不仅可以找出变形体内各应力应变分布规律及变形力，而且可以用来分析变形全过程，从而找出变形或成形工艺的最优方案。

塑性力学在工程中有广泛的应用：①结构的塑性极限分析和安定分析；②构件的塑性极限分析和安定分析；③金属块体成形；④金属板料成形；⑤金属轧制；⑥塑性动力响应和塑性波；⑦自紧技术；⑧在岩石和土壤中的应用；⑨残余应力的研究。

由此情况看出，塑性力学的研究范围十分广阔，目前已取得了大量的研究成果，特别是由于它在许多工程实际中获得了成功的应用，因而也进一步地促进了这门学科的发展。

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【参考文献】：

1 徐秉业，陈森灿编着．塑性理论简明教程．北京：清华大学出版社，1981

2 徐秉业编．塑性力学．北京：高等教育出版社，1990

(清华大学博士生导师徐秉业教授撰，博士生导师姚振汉审)