方圆阐幽

出处：按学科分类—文体、科学、教育 吉林大学出版社《四库大辞典下》第1768页（1415字）

一卷。

清李善兰(1811－1882)撰。李善兰字壬叔，号秋纫，浙江海宁人。

他自幼聪颖好算，十岁读《九章》，无师自通，以后又学《几何原本》前六卷、《测圆海镜》和戴震的《勾股割圆记》，颇有所得，他说：“善兰自束发学算，三十后所学渐深。”(《天算或问》卷一)三十五岁去嘉兴，与浙江学者顾观光、汪曰桢等交往甚多，切磋算学，并有着述。四十一岁到上海与伟烈亚力合作翻译西文数学书，八年间译成八种八十余卷。1860年任苏州徐有壬幕宾，1863年去安庆留任曾国藩军中多年，1868年到北京同文馆任算学总教习，官至郎中，但他专注教学，潜心思考，颇多建树，他在尖锥术、垛积术、数根术方面独步中算成一家之言；还兼收并蓄，于微积分、数论、组合数学诸领域颇有创见。先后着有《四元解》二卷(1845)、《方圆阐幽》一卷(1845)、《弧矢启秘》二卷(1845)、《对数探源》二卷(1845)、《麟德术解》三卷(1848)、《椭圆正术解》二卷、《椭圆新术》一卷、《椭圆拾遗》三卷、《火器真诀》一卷(1858)、《垛积比类》四卷、《尖锥变法解》一卷、《级数回求》一卷、《天算或问》一卷。以上十三种由曾国藩捐金三百于1867年刻成《则古昔斋算学》。他还着《九容图表》、《考数根法》三卷(1872)。

译着有《几何原本》后九卷(1858)、《代微积拾级》十八卷(1859)、《代数学》十三卷(1859)、《圆锥曲线说》三卷(1866)、《奈端数理》(未译完)，另有《谈天》、《重学》、《植物学》等。《方圆阐幽》是李善兰关于幂级数的研究成果之一，阐述了尖锥求积术，并以圆积为例说明尖锥术之应用。该书给出了十条“当知”作为尖锥术的基本原理：前三条讲点线面体之间的关系，是关于无限小几何元素的基本假设，如“点者体之小而微者也，线者体之长而细者也，面者体之阔而薄者也”(当知第一)“体可变为面，面可变为线”，“为面便可如纸之薄，为线便可如丝之细”。

(当知第二)第四条“当知诸乘方皆可变为面，并皆可变为线”。后六条专讲尖锥：第五条“当知平立尖锥之形”，其包括平方正尖锥、平方偏尖锥、正立尖锥与偏立尖锥；第六条“当知诸乘方皆有尖锥”，第七条“当知诸尖锥有积迭之理”，即当x由0变动到h时，所有的xⁿ表示的平面面积积迭成一个尖锥体，当n取不同值便得各乘尖锥体；第八条“当知诸尖锥之算法”，李善兰解释：“以高乘底为实，本乘方数加一为法除之得尖锥积。”相当于定积分的结果。第九条：“当知二乘以上尖锥其所迭之面，皆可变为线”，即axⁿ可以用一直线段表示；第十条“当知诸尖锥既为平面则可并为一尖锥”，即同高的平面尖锥的面积和等于它们合并后的尖锥面积。

以上十条为《方圆阐幽》中李善兰尖锥术的基本理论，虽不十分严谨，但他的独具匠心的妙悟已达到了某些积分的结果，具有启蒙之意义。接下来他以“方圆之理，方内函圆，方圆之较”为例说明尖锥术原理之应用：在单位圆外做外切正方形，方内圆外部分构成四个全等的尖锥，他对其中一个尖锥之底反复对分，得到无穷多个尖锥，运用第八条当知求得这一系列尖锥面积，“既得诸积，四因之，以减外大方积，便见大圆真积也”。李善兰在西方微积分传入之前，通过独立探索，获得了一系列重要成果，形成清末中算发展的高峰。《方圆阐幽》版本有：《则古昔斋算学》(1867)本，现藏北京图书馆与苏州图书馆；《续艺海珠尘》本；《丛书集成初编》本等。