几种常用的数据处理方法

出处：按学科分类—工业技术 南京大学出版社《工程师实用手册》第76页（5154字）

试验数据处理和分折的方法很多，中、小企业的工程技术中常用的有极差分析、方差分析和回归分析等方法，现在分别作简单的介绍。

(一)极差分析法

极差分析是通过计算和比较相差大小来分析处理试验数据的方法。用于多因数多水平的正交试验数据处理(当不考虑偶然误差对试验结果的影响时)较简便易行，仅需经过少量的计算就能够找到各因素对指标影响的主次程度，获得达到最佳指标时各因素的水平，以及明确进一步试验研究的方向。

例：柱塞组合件收口强度稳定性试验

油泵中的柱塞组合件，是由柱塞杆和柱塞头在收口机上组合收口而成(图2－1)。组合件要满足承受拉脱力F≥900kg的要求。为提高产品质量，解决拉脱力波动大的问题。某厂决定用正交试验方法安排试验，如图2－2所示，为柱塞头零件图。

图2－1 柱塞组

图2－2 柱塞头

根据经验，对拉脱力有影响的主要有四个因素：柱塞头的外径D，高度L，倒角K×β°和收口油压。并把每个因数取三个不同水平，见表2－1，试验方案见表2－2。

试验考察因数

实验方案

根据试验方案，测得9个拉脱力数据见表2－3。

拉脱力测量结果

计算：

第一步：求出每组试验之和。由表2－2，3可知，试验共分三组，其和分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。

Ⅰ_A：857+951+909=2717

Ⅱ_A：878+973+899=2750

Ⅲ_A：803+1030+927=2760

把Ⅰ_A，Ⅱ_A，Ⅲ_A填入表2－3的下端栏内。

同样按表2－3分别求出B，C，D三个因素的三组试验Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ之和。

B因素的三组试验为：1，4，7；2，5，8；3，6，9

C因素的三组试验为：1，6，8；2，4，9；3，5，7

D因素的三组试验为：1，5，9；2，6，7；3，4，8

其和分为：Ⅰ_B=2538，Ⅱ_B=2954，Ⅲ_B=2735，

Ⅰ_C=2786，Ⅱ_C=2756，Ⅲ_C=2685，

Ⅰ_D=2757，Ⅱ_D=2653，Ⅲ_D=2817。

第二步：求出极差，算出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ之后，把Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中最大值和最小值之差算出来，我们把差值称之谓极差。

R_A=2760－2713=47

R_B=2954－2538=416

R_C=2786－2685=101

R_D=2817－2653=164

第三步：依极差分析试验结果：

(1)分析各因素对指标影响的重要程度。在按某因素的水平分得的每个试验组中，该因素的同一水平出现三次，而其他因素各水平只出现一次。当比较数据Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的太小时，可认为其他因素对Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的影响大体相同，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ之间的差异，是由于该因素取了三个不同的水平而引起的。由此可见，极差反映了该因素取了三个不同水平对指标的影响。因此，可按因素极差大小排列出因素影响的主次顺序：柱塞头高度、收口油压、柱塞头倒角、柱塞头外径。

(2)找出最佳指标的各因素水平。研究的目的是提高拉脱力，挑选出每个因素的Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中最大值所对应的水平，从而组合成一组保证拉脱力最大的实施方案。由表2－3可知，他们是：Ⅲ_A(A₃)、Ⅱ_B(B₂)、Ⅰ_C(C₁)、Ⅲ_D(D₃)。即试验号为8，其柱塞头外径为14．8mm，柱塞头高度11．8mm，柱塞头倒角为1×50°、收口油压为20kg／cm²。

(3)找出进一步试验研究的方向。图2－3是用线型表示各因素水平变化对拉脱力数据之和的影响。由图中可以看出，柱塞头高度从11．6mm增加到11．8mm时，拉脱力逐步提高。其他因素分析由图2－3便一清二楚。如果还望希进一步提高拉脱力，则B因素取大于11．8mm及D因素取大于20kg／cm²。

(二)方差分析法

通过一个单因素试验的例子来介绍这种方法。在上例中，关于柱塞组合件收口强度稳定性的试验，指出了B因素(柱塞头高L)再增大一点可能对提高拉脱力更有利。为此，以B₁=11．8mm与B₂=11．9mm做单因素的对比试验，每个水平重复五次，试验数据见表2－4。

表中“Y_ij”表示第i个试验条件下第j次试验的试验数据。如，Y₁₁表示B₁条件下第一次的试验数据为5．5，Y₂₃表示在B₂条件下第三次试验的数据7．5。Y_ij表示从Yij加到Y_in之和。

为了把试验误差产生的影响同条件变化产生的影响区分开，以便认识条件变化对指标的影响，我们采用方差分析法来处理试验数据。其步骤为：

第一步，计算试验误差引起的数据波动。

误差是每个试验数据与其理论值的差值。理论值用同水平下试验数据的平均值i代替，则误差值为Y_ij－Y_j。将所有误差平方后相加，用它来描述试验过程中试验误差引起的数据波动。简称误差波动。记做S误，其计算公式为：

式中：m为水平个数，本例为2；k为重复试验次数，本例为5。

将表2－4中数据代入：

第二步，计算因素水平变化引起的数据波动。

由表2－4可知，各水平条件下数据的平均值为5．6和7，它们大致是围绕总平均值6．3而波动，以S因表示，其计算公式为：

式中：k为重复试验次数，本例为5；m为水平个数，本例为2。

因此，由表2－4数据代入，

第三步，计算数据总的波动。

总的波动可以用各数据Y_ji与总平均值之差的平方和来描述。用S_总来表示：

以表2－4数据代入：

S_总=(5．5－6．3)²+…+(6－6．3)²=11．1

S_总=S_因+S_误=11．1，由此可见，总的变动一般为两部分组成：即因素变动；误差变动。

第四步，因素显着性检验。

为了分折因素水平变化对指标影响的大小，还需把水平变化引起的波动与试验误差引起的波动进行比较。首先要克服试验数据个数的影响，为此，引入自由度的概念。所谓自由度，就是独立的数据个数。设因素自由度用f因，误差自由度用f误以及总自由度用f总来表示。

f_总=总的试验数－1，本例：f_总=10－1=9

f_因=某因素的水平数－1，f_因=2－1=1

f_误=f_总－f_因 f_误=9－1=8

若将因素变动S_因除以它的自由度即S_因／f_因；将误差变动S_误除以它的自由度即S_误／f_误；便消除了个数的影响。

比较S_因／f_因与S_误／f_误的大小。若S_因／f_因≈f_误／f_误，说明某因素的水平改变对指标的影响在误差范围之内，水平变化对指标无显着影响。若S_因／f_因大于S_误／f_误，则表明因素水平变化对指标的影响，超过了试验误差造成的影响。但是要大多少才能认为因素的影响明显的超过误差的影响呢?这就要确定F因=的临界值Fm。当F_因＞Fm时，便认为因素水平变化指标的影响是显着的。临界值Fa可由F分布表查出(见F检验临界值表)。a称作信度，表示判断误差的概率。表上横行代表F_因分子的自由度，竖行代表分母的自由度。

利用F检验临界值表作显着性检验，简称为F检验。本例中：若选信度为a=0．05查表F_0．05(1，8)=5．32，即F_B＞F_0．05由此得出结论：柱塞头高度由11．8mm增至11．9mm，对提高拉脱力指标的有利把握为95%。

(三)回归分析法

回归分折法是研究两个或多个变量之间统计规律的数学方法。其内容很多，这里仅介绍处理两个变量之间关系的一元线性回归分析，至于多元回归等请参阅有关书籍。

例：在某产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x的一组数据(表2－5)，试求腐蚀时间与深度之间经验公式解：第一步，把试验数据用散点表示出来，如图2－4。

第二步，求回归方程。

以图中散点围绕的一直线表示x与y的关系。直线方程写为y=a+bx称作y对x的回归方程。实际上这样的直线只是试验数据的近似反映，可能有无数条，有的直线与散点符合得好些，有的符合得差些。符合程度用实测值y_i与对应的回归直线上的_i值之差的平方和表示为：

若使直线与数据符合得最好，必须使Q最小。依数学分析中的极值原理，只有对式中a，b求偏导数，且令其等于零。于是a，b满足下式：

由该方程组解出a，b确定的回归直线是所有直线中与试验数据符合最好的直线。这种求回归直线的方法即是最小二乘法。代入该列数据得a=5．36，b=0．304。则回归方程为：

第三步，显着性检验。

检验原理可参考方差分析法的显着性检验。

第四步，预测和控制。

根据回归直线，当给定条件x值时，就可估计y值将落在什么范围，即所谓预测。控制条件x值，使y值落在指定的范围，即所谓控制。