放射线展开法

出处：按学科分类—工业技术 河南科学技术出版社《钣金技术手册》第428页（7177字）

放射线展开法适用于构件表面素线相交于一个共同点的圆锥、棱锥及其截体件，是将锥体表面用呈放射形的素线分割成共顶的若干三角形小平面。求出其实际大小后，以这些放射形素线为骨架，依次将其画在同一平面上，即得所求锥体表面的展开图。其大致展开步骤如下：

(1)画出构件主视图及锥底断面图。

(2)将断面图圆周分成若干等份(棱锥取角点)，由等分点或角点向主视图底边引垂线，再由垂足向锥顶引素线。

(3)求各素线实长。

(4)以锥顶为中心到锥底实长作半径，画圆弧等于断面周长或周围伸直长度，并将所画圆弧按断面图的等分数划分等分(棱锥取边长)，再由等分点向锥顶连放射线。

(5)在各射线上，对应截取主视图各素线实长得出各点，通过各点连成光滑曲线或折线，即得所求展开图。

(一)棱锥面构件的展开

1．正四棱锥件的展开

图6－35a所示为一正四棱锥，由已给投影图可知四条棱线等长，但其投影不反映实长；棱锥的底口为正方形，其水平投影反映实形。四棱锥可用放射线法展开，具体作法如下：

图6－35 棱锥面构件的展开

a．正四棱锥的展开 b．正四棱锥筒的展开

(1)用旋转法求出棱线实长R。

(2)以S′为圆心，侧棱实长R为半径画圆弧，并以底口边长的水平投影长(实长)在圆弧上顺次截取四等份，得1、2、3、4、1点，再以直线连接各点，并将各点与S′连接，即得四棱锥的展开图。

2．正四棱锥筒的展开

图6－35b为正四棱锥筒的立体图及展开图，其放射线展开作法如下：

(1)用已知尺寸画出俯视图和主视图。

(2)以O为圆心、OA′为半径画圆弧，在圆弧上以俯视图a为半径，顺次截取四等份得A、B、C、D、A各点，与O连接，并以O为圆心O－1′为半径画圆弧得1、2、3、4、1点，以直线连接各点即得展开图。

(二)圆锥面构件的展开

1．平口圆锥管的展开

图6－36b平口圆锥管展开图是由正圆锥被垂直其轴线的截平面截去锥顶而形成的，因此，圆锥管的展开图可在正圆锥展开图(图6－36a)中截去锥顶切缺部分后获得。

图6－36 圆锥管的展开

a．正圆锥管 b．平口圆锥管 c．顶口倾斜圆锥管

由于正圆锥的特点是表面所有素线长度相等，圆锥母线为它们的实长线，展开图为一扇形，则平口圆锥管的展开图应为一去掉扇角的环形。具体作法如下：

(1)画出平截口圆锥管及其所在锥体的主视图。

(2)画出锥管底断面半圆周，并作六等分，由等分点2、3、4、5、6引上垂线得与锥底1－7的交点，由锥底线上各点向锥顶S连素线，分锥面为12个小三角形平面。

(3)过锥口与各素线的交点引底口平行线1′－7′，交于圆锥母线S－7，则各交点至锥顶的等距离，即为素线被截切部分的实长。

(4)以S为圆心，S－7长为半径画圆弧1－1弧线等于底断面圆周长，连接1、1与S，即得正圆锥的展开图。

(5)再以S为圆心，S－7′长为半径画圆弧交于1－S、1－S线得1′，…，1′点。用光滑曲线连接展开图上各素线切点，所得的环形即为所求的截口圆锥管展开图。

2．斜口圆锥管的展开

斜口圆锥管可视为圆锥被正垂面截切而成，如图6－36c所示，其展开图仍是在正圆锥展开图中截去切缺部分得出，但是圆锥被斜截后，各素线长度不再相等，用各素线截切部分的实长截切展开图上对应的素线长也不相等。因此，其展开图的形状不再是规则的环形，具体作图法与平口圆锥管的展开相同，说明省略。

3．圆锥管正交圆管滴漏的展开

由图6－37中的立体图可知，该件的展开须先求出圆管与圆锥管的相贯线，再分别求出圆管、圆锥的展开图。具体作法如下：

图6－37 圆锥管正交圆管的展开

(1)根据圆锥底径D、高h和圆管直径d等实际尺寸画出主视图、俯视图和圆管1／2断面图。

(2)四等分断面半圆周，由等分点向右引水平线得与OB交点为1、2、3、4、5。由2、3、4点引下垂线交俯视图水平中心线各点，以O′为中心、以到各交点的距离作半径画同心圆，与由俯视图圆管断面等分点向右所引水平线对应交点为2′、3′、4′。再由2′、3′、4′引上垂线，与前由圆管断面等分点所引水平线对应交点连成曲线(结合线)完成主视图。

(3)圆管的展开：在主视图1－5延长线上截取1－1等于圆管断面周长，并分为八等份，由等分点向右引1－1上各点的垂线，与由主视图结合线各点所引的上垂线对应交点连成曲线，即得圆管的展开图。

(4)圆锥的展开：在以O为中心OB为半径画圆弧上，截取CE弧线等于圆锥管俯视图1／2周长，连接OC、OE；再以O为中心，到1、2、3、4、5各点为半径，画同心圆弧得与OA′交点。

以1″为圆心，圆管展开图1″－2″弧长作半径，上、下画圆弧交O－2半径圆弧于2″点(两个2″点)，以2″为圆心，圆管展开图2″－3″弧长作半径，画圆弧交O－3半径圆弧于3″点；再以5″为圆心，圆管展开图4″－5″弧长为半径，上、下画弧交O－4半径圆弧于4″点。通过各点连成光滑曲线为圆锥开孔实形，得圆锥管展开图的1／2。

4．圆锥体水壶的展开

图6－38为圆锥体水壶，壶及壶嘴为两个圆锥台的斜侧结合，其中壶体为正圆锥台，壶嘴为斜截圆锥台，两圆锥相贯的结合线求法与上例相同，说明省略。具体作法如下：

图6－38 圆锥体水壶的展开

(1)根据已知尺寸画出主视图和壶嘴断面图，画直圆锥O₂－1－5，并以1－5为直径画1／2辅助断面。四等分辅助断面半圆周，等分点为1、2、3、4、5。由2、4引上垂线得与1－5交点，由1－5交点向O₂引素线得与EF和结合线交点，由各线交点向右引水平线得与F－5交点。

(2)壶嘴的展开：以O₂为中心，O₂－5为半径画圆弧上截取弧长等于辅助断面圆周长，并照录等分点1、2、3、4、5、4、3、2、1，由各等分点向O₂连放射线，与以O₂为中心，到F－5线各点为半径，画同心圆弧对应交点分别连成光滑曲线，即得所求壶嘴的展开图。

(3)壶体的展开法与上例圆锥管的展开法相同，说明省略。

5．异径Y形锥管的展开

Y形锥管用于分料或分流，要求各处均为圆滑过渡，不产生留料现象，阻力小，流动快。这种三通管的展开如图6－39所示，其底圆(主管端口)与顶圆(支管端口)是平行圆，组成异径Y形锥管的两支管是相同的斜圆锥台。采用放射线法展开的具体作法如下：

图6－39 异径Y形锥管的展开

(1)根据已知高度h、底圆与顶圆的中心距a、底圆与顶圆直径d和d₁，画出主视图和断面图。

(2)画支管1／2断面，六等分断面半圆周，等分点为1、2、3、4、5、6、7，由等分点引对1－7的垂线得交点，过交点向O连素线交结合线得2′、3′、4′、5′、6′和2″、3″、4″、5″、6″各点。再由结合线各点分别引对O－O′垂线至圆锥侧线，得出O至各点的实长。

(3)以O为圆心，以O－7为半径，画圆弧7－7(等于断面半圆周长度)，并照录十二等分各点。由各点向O连放射线，与以O为圆心，以到1″－7″线各点为半径，分别画同心圆弧对应交点，分别连成光滑曲线；再与以O为圆心，以到1′－4′－7′折线各点为半径，分别画同心圆弧对应交点，分别连成光滑曲线，即得支管展开图。

(三)椭圆锥面构件的展开

1．铁水包出水嘴的展开

铁水包是圆锥体的一部分(图6－40)，可用放射线法展开。展开时，其下部平面平切圆锥为圆，上部可补齐出水嘴部分。具体作法如下：

图6－40 铁水包出水嘴的展开

(1)根据尺寸要求画出主视图，并延长两侧线交点为锥顶点O，补齐截切部分成一个圆锥体，且画出其底断面的1／2。

(2)八等分断面图半圆周，等分点为1、2、3、4、5、6、7、8、9，由等分点引对1－9垂线得交点，过交点向O连素线交结合线得2′、3′、4′、5′、6′、7′、8′各点，再由结合线各点分别引对各素线的垂线至圆锥侧线O－9，得出O至各点的实长。

(3)以O为圆心，以O－9为半径，画圆弧等于底断面圆周长度，并照录十六等分各点，由各点向O连放射线，再以O为圆心，以到1′－8′线各点为半径，分别画同心圆弧对应交点连成光滑曲线，即得出水嘴展开曲线。

(4)以O为圆心，以O-B为半径，画圆弧至O-1线，得出所求铁水包的展开图。

2．两端半圆锥形敞口盆的展开

图6－41所示为两端各为一个半圆锥台，中间为一梯形台，可用放射线法展开两端。具体作法如下：

图6－41 两端半圆锥形敞口盆的展开

(1)根据已知尺寸画出主视图和断面图，由断面图圆心O和O₁画出圆锥中心线，并将主视图侧线延长与圆锥中心线相交得圆锥顶点O′和O₁′以及O′－O₁′距离长。

(2)分别三等分断面图两端1／4圆周，等分点均为1、2、3、4各点，由各等分点分别向O₁、O引连线得与盆底B₁、B弧线各交点，得出O₁、O至各点的长，但不反映其实长。

(3)根据O′－O₁′距离长，以O₁″和O″为圆心，以O₁′A₁和O′A及O₁′B₁和O′B为半径，画圆弧和，分别等于断面1／2圆周长度，并分别照录1、2、3、4、3、2、1各等分点，由各等分点向O₁″和O″连放射线，并将断面图中画斜点划线所表示的中心部分两个倾斜平面照搬后，即可得到敞口盆的展开图。

3．倒椭圆锥形浴盆的展开

图6－42所示的上大下小椭圆形浴盆，可看作是由两个不同锥顶角的锥台各纵剖一部分拼接而成。因此，展开较复杂，用放射线法展开的作法如下：

图6－42 倒椭圆锥形浴盆的展开

(1)根据实际尺寸画出主视图、侧视图和断面图，并在断面图上平分半个椭圆，使其长径部分和短径部分各分成四等份。

(2)按主视图高度作三角形图，由R₁、R₂、R₃、R₄分别确定点A、B、A₁、B₁，将AB连线与A₁B₁连线延长，与过O点的垂直线相交，交点分别是I和I₁，由此确定展开时圆的半径。

(3)以I为圆心，以三角形图上I－A、I-B为半径，画圆弧分别等于断面图上内、外半个椭圆弧长，并照录1～9各等分点。连接I－5、I9线，并分别以I、5、9点为圆心，以三角形图上I₁－A₁长为半径画弧，分别交I－5、I－9线于I₁和C点。

(4)以I₁和C点为圆心，I₁-A₁和C－A及I₁-B₁和C－B为半径，在已展开图两端画圆弧，且分别等于断面图上弧线长。将A、B两点用直线连接，即得所求浴盆的全展开图。作展开图的这种方法称为四心圆法。

(四)渐变形锥面构件的展开

1．圆筒斜接圆锥的展开

图6－43可看成由一个斜截圆柱与一个斜截圆锥相连接而成，圆柱可用前述平行线法展开，圆锥可用放射线法展开。具体作法如下：

图6－43 圆筒斜接圆锥的展开

(1)用已知尺寸画出主视图和圆筒1／2断面图。六等分1／2断面图，得等分点1、2、3、4、5、6、7，由各等分点引对1－7的垂线交结合线1′－7′于各点。

(2)圆筒的展开：在1－7延长线上截取4－4等于圆筒断面周长，并分为十二等份，由等分点向上引对4－4上各点的垂线，与主视图结合线上各点向右所引对1－7的平行线对应交点连成曲线，即得圆筒的展开图。

(3)圆锥的展开：将锥体侧线延长至交点(锥顶点)O，并由结合线1′－7′上各交点向锥顶O引放射线。以O点为圆心，O－7′为半径画圆弧等于底断面圆周长度，并照录十二等分各点，由各点向O连放射线。

以O为圆心，以O到1′－7′线各点为半径，分别画同心圆弧对应交点连成光滑曲线，并与以O为圆心，OB为半径所画的圆弧构成所求圆锥筒的展开图。

2．筒形虾体管的展开

图6－44为五节渐缩管径直角弯头，展开时可将筒形虾体各段中的一半旋转90°接成一个锥台，可按锥台将各节一起展开，下料后再拼接成型。具体作法如下：

图6－44 筒形虾体管的展开

(1)根据实际所需大口位置及大口直径D、小口位置及小口直径d，作出大口和小口断面图和主视图，并将主视图中弯管中心线拉直，近似地作为锥台的高度h，作出锥台主视图和1／2底断面图。

(2)在锥台主视图上定出各节高度，按两端节和三中节高度照实划分，两端节高度h各等于中间节的1／2，从上到下得O₁、O₂、…、O₆各点，以直线连接各点，并过O₂、O₃、O₄、O₅各点作各节的顶、底线(即四条结合线)，各线与中心线夹角均为78°45′。

(3)六等分1／2底断面图，得等分点1、2、…、7，由各等分点引对1－7的垂线得各垂足点。延长锥台侧线相交于S点，并从1－7上各垂足点向S引放射线，交各结合线上得出各交点。

(4)以S点为圆心，S－7为半径画圆弧等于底断面圆周长πD，并照原图记录十二等分各点，由各点向S连放射线，与以S为圆心，以到四条结合线上各点作半径，分别画同心圆弧对应交点连成光滑曲线，并与以S为圆心、以S－O₁为半径所画的圆弧构成所求筒形虾体管的展开图。