格林公式　平面上曲线积分与路径无关的条件

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第189页（1181字）

格林(Green)公式 设闭区域D由光滑或分段光滑曲线L所围成，函数P(x，y)及Q(x，y)在D上具有一阶连续偏导数，则

其中L是D的取正向的边界闭曲线．此公式称为格林公式．

L的正向是指：当人沿着L的这个方向行走时，D始终在此人的左侧．例如图11．2所指方向为L的正向．图11．2左边的情形也称逆时针方向．

图11．2

平面曲线积分与路径无关条件

(1)与路径无关的定义

设G是一个开域．如果在G内任意指定两点A，B，以及从点A到点B在G内任意两条路径L₁，L₂(见图11．3)，有

图11．3

则称曲线积分在G内与路径无关．否则就是与路径有关．

(2)单连通域的定义

设G为平面区域．如果G内任一闭曲线所围的区域都属D，则称D为平面单连通域，见图11．4左，否则称复连通域(见图11．4中及右)．

图11．4

(3)格林公式对复连通域(除点洞)也成立，即

其中L由L₁与L₂组成，记作L=L₁+L₂，其方向如图11．5．

图11．5

(4)设开域D是一个单连通域．函数P(x，y)，Q(x，y)在D内具有一阶连续偏导数，则曲线积分

在D内与路径无关的充分必要条件是在D内恒有

(5)曲线积分在D内与路径无关的充分必要条件是在D内任一条闭路L，曲线积分．

(6)设开域D是单连通域，函数P(x，y)，Q(x，y)在D内具有一阶连续偏导数，则Pdx+Qdy是某个函数u(x，y)的全微分的充分必要条件，在D内恒有

且

图11．6