定积分

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第82页（3107字）

定积分定义 设函数f(x)在［a，b］上有界，在［a，b］中任意插入n－1个分点

a=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n－1＜x_n=b，

把区间［a，b］分成n个子区间，

［x₀，x₁］，［x₁，x₂］，…，［x_n－1，x_n］，

各子区间的长度依次为

△x_i=x_i－x_i－1， (i=1，2，…，n)，

在各子区间［x_i－1，xi］上任取一点ξ_i(ξ_i∈［x_i－1，x_i］)，作乘积

f(ξi)△x_i (i=1，2，…，n)，

并作和

记λ=max｛△x₁，△x₂，…，△x_n｝，如果不论对［a，b］怎样的分法，也不论在小区间［x_i－1，x_i］上点ξ_i怎样的取法，只要当λ→0时，和S总趋于确定的极限I，则称这个极限I为函数f(x)在区间［a，b］上的定积分，记为即

其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，［a，b］叫做积分区间，和i称为积分和．如果

f(x)在［a，b］上的定积分存在，则说f(x)在［a，b］上可积．

定积分存在定理1 当函数f(x)在［a，b］上连续时，f(x)在区间［a，b］上可积．

定积分存在定理2 设函数f(x)在区间［a，b］上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在区间［a，b］上可积．

定积分的几何意义

其中A₁，A₂，A₃表示图中所示的面积(见图6．1)．

图6．1

定积分的补充规定

定积分的性质(在下面的定积分的性质中，假定定积分都存在)

(1)(此性质可以推广到有限多个函数和的情况)．

(3)不论a，b，c的相对位置如何，则

(5)如果在区间［a，b］上f(x)≥0，则

推论 如果在区间［a，b］上f(x)≤g(x)，则

(6)设M及m分别是函数f(x)在区间［a，b］上的最大值及最小值，则

(此性质可用于估计积分值的范围)．

定积分的中值定理(或积分中值公式) 如果函数f(x)在闭区间［a，b］(或［b，a］)上连续，则在积分区间［a，b］(或［b，a］)上至少存在一个点ξ，使

(ξ在a与b之间，b不一定要大于a)．

定积分中值定理的几何解释 在区间［a，b］上至少存在一个点ξ，使得以区间［a，b］为底边，以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边长乘高为f(ξ)的一个矩形的面积(见图6．2)．

图6．2

上限为变量的定积分(变上限定积分)

设函数f(x)在区间［a，b］上连续，并且设x为［a，b］上的一点，则称积分

为变上限的定积分．

变上限的定积分的导数定理(或原函数存在定理) 如果函数f(x)在［a，b］上连续，则函数

在［a，b］上具有导数，且它的导数是

即t就是f(x)在［a，b］上的一个原函数

特别地，如果f(t)连续，a(x)，b(x)可导，则

的导数F′(x)为

牛顿－莱布尼茨公式(微积分基本公式) 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间［a，b］上的一个原函数，则

记为

(当a＞b时，公式仍成立．)

微积分基本公式表明：

(1)一个连续函数在区间［a，b］上的定积分等于它的任意一个原函数在区间［a，b］上的增量；

(2)求定积分问题转化为求原函数的问题．

定积分的换元法 假设函数f(x)在［a，b］上连续，函数x=φ(t)在［α，β］上是单值的且有连续导数，当t在区间［α，β］上变化时，x=φ(t)的值在［a，b］上变化，且φ(α)=a，φ(β)=b，则有定积分的换元公式

当α＞β时，换元公式仍成立．

例 计算

解 令t=cos．x，则dt=－sinxdx，

当时，t=0，当x=0时，t=1，故

定积分的分部积分法 设函数u(x)，v(x)在区间［a，b］上具有连续导数，则有定积分的分部积分公式

简记为

定积分常用公式