正定二次型，正定矩阵

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第340页（1603字）

正定二次型

设n元二次型，若对任意的x=(x₁，x₂，…，x_n)^T≠0：

恒有f=x^TAx＞0，则称f为正定二次型，A为正定矩阵．

恒有f=x^TAx＜0，则称f为负定二次型，A为负定矩阵．

恒有f=x^TAx≥0，至少存在一个x₀≠0，使得，则称f为半正定二次型，A为半正定矩阵．

恒有f=x^TAx≤0，至少存在－个x₀≠0，使得，则称f为半正定二次型，A为半正定矩阵．

若存在x₁≠0，使得；存在x₂≠0，使得，则称f为不定二次型，A为不定矩阵．

可逆线性变换不改变二次型的正定性 －个二次型f=x^TAx，经过可逆线性变换x=Cy，化成y^TC^TACy，即

二次型x^TAx和y^TC^TACy有相同的正定性(A，C^TAC(其中C可逆)有相同的正定性)．

判别正定二次型(或正定矩阵)的充要条件

f=x^TAx是正定二次型(A是正定矩阵)

的正惯性指数p=n(A的阶数)=r(A的秩)

存在可逆矩阵D，使得A=D^TD

的全部特征值λ_i＞0(i=1，2，…，n)

的顺序主子式大于零，即

A是正定矩阵的必要条件

A是n阶正定矩阵，则a_ii＞0，且|A|＞0(显然A是实对称矩阵，且A是可逆矩阵)．

A是负定矩阵的充要条件

x^TAx是负定二次型(A是负定矩阵)

是正定二次型(－A是正定矩阵)

的负惯性指数q=n=r

存在可逆矩阵，D使得A=－D^TD

的全部特征值小于零，即λ_i＜0(i=1，2，…，n)

的奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零

f=x^TAx是半正定二次型(A是半正定矩阵)的充要条件

f=x^TAx半正定(A半正定矩阵)

的惯性指数p=r(A的秩)(q=0)＜n(A的阶数)

，1有r个

有特征值λ_i≥0，但至少有一个λ等于零

存在非满秩矩阵D，使得A=D^TD

的各阶主子式大于等于0，但至少有一个主子式(对称于主对角线的子式称为A的主子式)等于零．