二维随机变量的函数的分布

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第403页（2068字）

和的分布

已知X，Y的分布，Z=X+Y，求Z的分布．

1．离散型随机变量

已知(X，Y)的联合分布律，或X，Y的边缘分布律．Z=X+Y，Z为离散型随机变量，求Z的分布律．

或

若X，Y相互独立，则有

或

2．泊松分布和的分布，二项分布和的分布

(1)若X～P(λ₁)，Y～P(λ₂)，相互独立，则X+Y～P(λ₁+λ₂)．

(2)若Xi～P(λ_i)，i=1，2，…，n，X_i之间相互独立，，则Z～ P(λ)，其中．

(3)若X～B(n₁，p)，Y～B(n₂，p)相互独立，则X+Y～B(n₁+n₂，p)．

3．连续型随机变量

若X，Y相互独立，密度函数分别为f_X(x)，f_Y(y)，Z=X+Y，则有

或

注意：具体计算时，积分限要由密度函数值的非零域来确定．

线性和的分布 若X，Y相互独立，密度函数分别为f_X(x)，f_Y(y)，Z=aX+bY(ab≠0)，则有

或

注意：具体计算时，积分限要由密度函数值的非0域来确定．

一般变换定理 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为f_(X，Y)(x，y)，并有函数U=u(X，Y)，V=v(x，y)．如果函数u=u(x，y)，v=v(x，y)有惟一的单值反函数x=x(u，v)，y=y(u，v)，且有连续的一阶偏导数，，，，则二维随机变量(U，V)的联合密度函数为

f_(U，V)(u，v)=f_(X，Y)［x(u，v)，y(u，v)］|J|，

其中J为雅可比行列式，即

关于U，V的边缘密度函数为

一般函数Z=g(X，Y)的分布

以连续型随机变量为例．设(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)，Z=g(X，Y)，则Z的分布函数为

其中D为g(x，y)≤z所表示的平面域．

Z的概率密度函数为．

最大值，最小值的分布

(1)设X₁，X₂，…，X_n为相互独立的n个随机变量，分布函数分别为F_X1(x₁)，F_X2(x₂)，…，F_Xn(x_n)，记

M=maX(X₁，X₂，…，X_n)，

N=min(X₁，X₂，…，X_n)．

M，N的分布函数分别为

F_M(z)=F_X1(z)F_X2(z)…F_Xn_n(z)，

F_N(z)=1－［1－F_X1(z)］［1－F_X2(z)］…［1－F_Xn(z)］．

若X₁，X₂，…，X_n同分布，分布函数为F(x)，密度函数为f(x)，则有分布函数

F_M(z)=［F(z)］ⁿ，

F_N(z)=1－［1－F(z)］ⁿ．

M，N的密度函数为，

f^N(z)=n［1－F(z)］^n－1f(z)．

(2)指数分布的最小值的分布

①设X～E(λ₁)，Y～E(λ₂)相互独立，Z=min(X，Y)，则Z～E(λ1+λ₂)．

②设X_i～E(λ_i)(i=1，2，…，n)，X_i之间相互独立，Z=min｛X₁，X₂，…，X_n｝，则Z～E(λ)，其中．