总体与样本

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第423页（1290字）

总体与个体

研究对象的全体叫做总体；其中的每个单元(或元素)叫做个体．通常研究对象是某个指标，视为随机变量X，因而X取值的全体叫做总体．其中的每一个Xi(i=1，2，…)叫做个体．

样本与样本值

样本：在总体X中抽取n个个体X₁，X₂，…，X_n，这n个个体就称为总体X的容量为n的样本．

样本值：对一次具体的抽取得到n个数值x₁，x₂，…，x_n，这一组数值叫做样本值，或叫做样本的观察值．

简单随机样本 通常对样本的选取是有要求的．具有下面两个特点的样本叫简单随机样本．

(1)每个个体X_i(i=1，2，…，n)与总体X同分布；

(2)任何两个个体X_i与X_j(i≠j)之间相互独立．

性质：设总体X的分布函数为F(x)，密度函数为f(x)，样本的联合分布函数为F*(x₁，x₂，…，x_n)，联合密度函数为f*(x₁，x₂，…，x_n)．则有

样本的数字特征

称为样本的k阶中心矩．

经验分布函数 将n个样本值按大小排成x₍₁₎≤x₍₂₎≤…≤x_(n)的顺序，记Fn(x)为不大于x的样本值出现的频率，有

则称F_n(x)为经验分布函数．它等于在n次独立重复试验中，事件｛X≤x｝出现的频率，具有分布函数的一切性质．

格列汶科定理 设总体分布函数为F(x)，经验分布函数为F_n(x)，则

即当n→+∞时，F_n(x)以概率1关于x均匀收敛于F(x)．

当n很大时，可以用F_n(x)近似代替F(x)，即

F(x)≈F_n(x)．

统计量 设X₁，X₂，…，X_n是总体X的样本，g(X₁，X₂，…，X_n)是样本的连续函数，如果此函数中不含任何未知参数，则称此函数为一个统计量．

实践中，人们总是根据需要构造合适的统计量，通过对统计量的研究，达到对总体的认识．这是数理统计的基本问题之一．在这里，统计量的分布成为一个重要问题．