图解复数法作平面机构的运动分析
出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册中》第1893页（8092字）
分析的方法与步骤是：首先作位置分析，画出机构的位置矢量图，由图写出复数形式的位置矢量方程，解方程求未知的位置参数；其次作速度、加速度分析，将一般形式的速度、加速度矢量方程变成复数形式，解复数方程求速度、加速度。
如图5．3-1所示，矢量R可用带箭头的线段表示，也可用复数
表示，即
，其中v为矢量R的大小；θ为矢量R的方位角，
图5．3-1 矢量与复数
度量矢量方位角的起始线是由矢量起点向右引出的水平线：由起始线按逆时针方向度量的方位角取“+”值；由起始线按顺时针方向度量的方位角取“-”值。显然，
。当r=1时，
(
为单位矢量)。图5．3-2所示为
圆。可见：
；
；
。
图5．3-2 eiθ圆
在图5．3-3中，a)所示为一平面运动构件。b)表示构件的C点对B点的相对位置矢量BC，即BC=le1φ(l为B至C的实际长度)。通常规定：角速度ω为逆时针方向时取“+”值，反之取“-”值；角加速度ε为逆时针方向时取“+”值，反之取“-”值。当ω为“+”值时，vcB的方位角为φ+90°，如图c)所示；当ω为“-”值时，vCB的方位角为φ-90°。
图5．3-3
由于
，故vCB=lωe1(φ+90)。同理，
=
=
：
=
；
用
代替
表示一矢量的具体结果则更为简明。如vCB的大小为10m／s，方位角为-60°时，可表示为：
。
如图5．3-4中a)所示，导杆1作平面运动，滑块2沿导杆1作往复直线移动，B点为两构件的瞬时重合点，动坐标系与导杆1固结。
图5．3-4
相对速度vB2B1的复数形式：因vB2B1的方位角为φ或为φ+180°。且vB2B1往往是待求量，故可假设
。若求得vB2B1=10m／s，则vB2B1=
；若vB2B1=-10m／s，则vB2B1=10m／s
。
哥氏加速度
的复数形式：因vB2B1=vB2B1e1φ，故
。若计算得vB2B1ω1=-5m／s2，显然，
相对加速度
的复数形式：可假设
=
例5．3-15曲柄滑块机构，见图a)。已知l1=20mm、l2=60mm、φ1=60°、ω1=10rad／s)，求φ2、S、ω2、vC、ε2、aC。
位置分析：
画出位置矢量图(见图b)，由图可写出复数形式的位置矢量方程
(A)
(A)式取虚部 0=l1sinφ1+l2sinφ2
(φ2为负值表示由起始线按顺时针度量的值，如图示)
(A)式取实部 S=l1cosφ1+l2rosφ2
=67．4456mm。
速度分析：
考虑构件2的B、C两点，可写出一般形式的速度矢量方程
(B2)式取实部，得 vC=-(l1ω1sinφ1+l2ω2sinφ2)=-0．203m／s
由(B1)式可画出速度图(见图c示意图)。
加速度分析：
考虑构件2的B、C两点，可写出一般形式的加速度矢量方程
例5．3-16 正切机构，如图a)所示。已知H=30mm、φ1=30°、ω1=10rad／s
，求v3、a3。
画位置矢量图(见图b)，由图写出位置矢量方程
由(A)式取实部，得
由图得 Y=Htgφ1=17．321mm
速度分析：
考虑构件1、2的重合点(B1、B2)，可写出速度矢量方程
由(B2)式取实部，得vB2B1=／1ω1tgφ1=0．2m／s
由(B2)式取虚部，得
∴
由(B1)式可画出速度图(见图c)。
加速度分析：
考虑构件1、2的重合点(B1、B2)，可写出加速度矢量方程；
用
除(C2)式两边：
=-
+2vR2B1ω1e190°+ar
由(C1)式可画出加速度图(见图d)．
例5．3-17 导杆机构，如图a)所示。已知l1=20mm、l4=50mm、φ1=60°、ω1=10rad／s，求ω2，ε3。
位置分析：
画出位置矢量图b)，由图可写出位置矢量方程
(A)
速度分析：
速度矢量方程 vB3=vB2+vB3B2 (B1)
加速度分析：
由(B1)式可画出速度图(见图c)。
加速度矢量方程
用
除(C2)式两边后，取虚部，得
由(C1)式可画出加速度图。
例5．3-18 铰链四杆机构。如图a)所示，已知l1=20mm、l2=60rnm、l3=70mm、l4=80mm，φ1=90°、ω1=10rad／s
，求φ2、φ8、ω2、ω3、ε2、ε2、
、
。
位置分析：
画位置矢量图(见图b)，由图得
由(A1)式解得
速度分析：
由(B1)式可画出速度图(见图c示意图)。
加速度分析：
由(C2)式解得：
其中
。
由(C1)式可画出加速度用(见图d示意图)。
例5．3-19 曲柄摇块机构，如图a)所示，已知l1=30mm、l4=100mm、φ1=135°、ω1=10rad／s
，求ω1、ε1。
位置分析：
画出位置矢量图(见图b)，由图可写出复数形式的位置矢量方程
(A)
φ2=-9．9267°；s=123．0554mm速度分析：
因此复数形式的速度矢量方程为
vc2c3e1φ2=l1ω1e1(φ1+90°)+Sω2e1(p2+90°)
(B2)
解(B2)式，得vc2c3=－l1ω1sin(φ1－φ2)；
结果：vc2c3=－0．1724m／s即vc2=vc2co=0．1724m／s／170．0733。ω2=1．9952rads
；ω3=ω2=1．9952rad／s
；vB=l1ω1e1(
)=0．3m／s／225°；vc2B=Sω2e1(φ2+90°)=0．2455m
可按(B1)式画出速度图(见图c)。
加速度分析：
一般形式的加速度矢量方程
由上两式联立，得
因此复数形式的加速度矢量方程为
用e1φ2除(C2)式两边，得
上式取虚部，得
上式取实部，得 
结果：ε2=8．4188rad／s2
：
=1．9654m／s2／－9．9267°。
由(C1) 式可画出加速度图(见图d)。
例5．3-20 四杆机构，如图a)所示，已知l2=25mm、l3=10mm、l4=40mm、φ1=60°、ω1=10rad／s
，求ω3、ε3。
位置分析：
画出位置矢量图(见图b)由图可写出复数形式的位置矢量方程
结果 φ=34．2636°7l=22．2025mm；φ3=134．6013°，l1=22．6553mm；φ5=12．1833°：l5=33．7381mm。
速度分析：
由构件1、2的重合点(C1、C2)写出一般形式的速度矢量方程
故可写出复数形式的速度矢量方程
(B2)
解(B2)式，得
；vc2c1=l5ω1sin(φ5－φ1)－l3ω3sin(φ3－φ1)
结果；ω3=85．3211rad／s
：vc2c1=－1．0726m／s。
由(B1)式可画出速度图(见图c)。
加速度分析：
一般形式和复数形式的加速度矢量方程分别为
例5．3-21 六杆机构，如图a)所示，此六杆机构有1个三副构件(CDF)，经3个二副构件(CB、DE、FG)连于原动件及机架(BAEG)，属Ⅲ级机构。
已知l1=10mm、l2=53mm、l3=30mm、l4=30mm、l5=50mm、l6=51mm、l7=14mm、l
=44mm、θ=30°、ω1=10rad／s
，
求φ1=60°时的ω2、ω3、ω4、ω7，ε2、ε3、ε4、ε7。
位置分析：
由机构简图可画出图b)、c)、d)所示的位置矢量图，由图可写出如下的复数形式的位置矢量方程
求φ1=60°时的φ2、φ3、φ6、φ4、φ7，可用牛顿迭代法，即初给－φ7，按(A1)、(A2)、(A3)式的顺序求得φ1，并计算y1=ω1／ω7，Y=φ1－60若Y＜0．0001(指定的精度要求)，则认为所给的φ7及算出的φ2、φ3、φ4、φ6即为与φ1=60°对应的值；否则，应将原来的φ7减去Y／Y1后所得的φ7，重作上述计算，至满意。由于计算Y1=ω1／ω7用有速度分析的计算式，所以，位置分析和速度分析可同步进行。
结果：φ1=60°；φ2=137．7864°；φ3=50．7205°：φ4=97．6755°；φ6=20．7205°；φ7=123．1067°。
速度分析：
由vD=vF+vDF可写出
由(B2)式可解得K4、K7，
又由vC=vB+vCB=vD+vCD可写出
(B3)式得
由(B4)式解得K1、K2。于是ω6=ω1／K1，ω2=K2ω6，ω3=ω6，
，ω3=K7ω6。
结果2ω1=10rad／s
；ω2=1．1853rad／s
，ω3=0．9416rad／s
；ω4=3．5971rad／s
；ω6=ω3；ω7=7．6971rad／s
。
加速度分析：
由(C1)、(C2)两式可解得ε2、ε3、ε4、ε7。具体解法如下：
由以上算式和方程的顺序算出B1、B2，解得1、φ、ε2、ε3、ε4、ε7。
结果：ε2=－25．8266rad／s2
；ε3=8．2552rad／s2
；ε4=－22．4044rad／s2
；ε7=－35．9067rad／s2
。
速度图与加速度图分别如图e)f)所示。其中
图e)为速度图，与(B1)、(B3)式对应；图中pb与机构图中的曲柄AB垂直。图f)为加速度图，与(C1)、(C2)式对应。速度图、加速度图可由计算结果按对应的矢量方程式画出，也可用计算机绘制、屏幕显示。若计算结果有误，则绘制的矢量图不封闭。
例5．3-15～5．3-19的运动线图分别见图5．3-5～5．3-9。
图5．3-5 曲柄滑块机构运动线图
图5．3-6 正切机构运动线图
图5．3-7 导杆机构运动线图
图5．3-8 铰链四杆机构运动线图
图5．3-9 曲柄摇块机构运动线图