结构塑性动力响应

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第155页（5058字）

众所周知，组成工程结构的基本构件通常是梁、板、拱、壳。

当这些基本构件受到强动载荷作用或突加速度时，就可能产生大的塑性变形，导致结构过量的永久变形而失去原有功能，以及造成结构的局部或整体破坏。这不仅与结构形状和材料性质有关，而且还取决于载荷强度和载荷持续时间。

如果载荷作用时间足够短，则即使载荷幅值远远大于结构的静态极限载荷，由于构件的惯性力抵抗外力做功，也可以保证结构不至于产生过量的永久变形，因而不会失效。塑性动力分析的一个重要目的就是预报这种永久变形(广义)量的大小和位置，从而确定相应的安全准则，为工程提供理论依据。

当然，工程中的结构问题一般是非常复杂的，在很多情况下约束条件以及载荷种类往往都难以确定。同时结构的受载过程可能是多种力学机理交织在一起，伴随着几何大变形和大的非弹性应变，并且与材料的损伤、断裂耦合在一起，因此使动力分析变得很困难。

结构的塑性动力分析大体可分为两类。第1类是应力波问题；第2类是整体响应问题。一般来讲，如果载荷作用时间极短或载荷变化极为迅速，并且结构在某一方向的尺寸较大，而我们又希望了解物体在这一尺度方向上的瞬态局部变形和应力变化的规律，这时就要考虑应力波问题。另一方面，如果结构尺寸有限，特别是当载荷作用在小尺度方向时，如梁、板、壳的厚度方向，这时应力波穿过厚度的时间大约是微秒量级。

在这样短的时间内，波经过来回往复传播，很快把变形传给整个物体，结构将出现整体加速运动。从时间上来划分，应力波作用在前，结构整体响应在后。

但是，假如我们关心的是结构整体内的广义变形随时间的变化，尤其是最终的残余变形，那么，结构的动力响应就成了主要的研究内容。通常对横向载荷作用下的有限结构进行塑性动力分析时并不考虑应力波过程，而只研究整体响应。当然也有少量文献把两者耦合在一起加以考虑。

与塑性静力学相比，塑性动力学的复杂性主要表现在以下几个方面：(1)弹塑性材料在动载作用下，应变率产生效应使本构关系发生很大变化，材料的动态特性更加复杂。(2)动力学方程增加了介质的惯性力和时间自变量，这使方程求解更加困难。(3)动载作用常常使结构变形大大增加，从而不得不计入有限变形的影响。

(4)破坏模式明显增多，多种内力效应交织在一起，使主次矛盾难以分清。

在结构的塑性动力响应分析中，假如把弹性变形、应变率效应、应变强化、有限变形、初始缺陷等各种因素都考虑进来，问题将非常复杂。

Symonds等的工作表明，如果外载输入结构的能量远远大于结构本身所能贮存的弹性变形能，同时载荷作用的时间又远远小于结构的最小自振周期，那么，一般可以采用刚塑性材料的本构模型来建立问题的一阶近似理论。这样的处理使问题大大简化，避开了由于对各种材料动态本构关系缺乏了解而带来的困难，同时获得结果表达形式相对地比较简单却能与实验基本吻合。因此，刚塑性的分析方法表现出很强的生命力，一直受到力学界和工程界的重视。几十年来，对梁、板、拱、壳这些构件的刚塑性动力响应一直都在不断地进行着研究。

另一方面，为了满足工程界的需要，直接用于复杂结构塑性动力分析的各类数值方法及相应程序也得到了迅速发展。

上述提到的刚塑性动力响应的一阶近似理论、实际上它是建立的忽略弹性变形、应变率效应、应变强化、有限变形、初始缺陷等与材料本构以及几何非线性有关的各种因素基础上的。

其基本做法大体上是沿用结构的刚塑性准静态极限分析的思想，只是由于解法简便，在输入结构的能量很大的情况下，它确实在一定程度上反映了结构塑性动力响应的本质。

因此，对一阶近似理论加以修正、补充，并估计其它诸效应在结构响应过程中影响使之符合实际材料的动力特性和结构的几何特性，就形成了塑性动力响应目前理论研究的重点或方向。

材料的弹性效应 到目前为止，通过对结构进行弹塑性动力分析从而获得塑性动力响应解析解的文献只有唯一的一篇，即1950年，P．E．Duwez对中点受撞击而获得一个初始速度的无穷长梁进行弹塑性动力分析给出的结果。由于弹塑性分析涉及加载、卸载、再加载，这些过程又与时间及随时间变化的塑性区形状联系在一起，所以即使对于非常简单的结构，分析起来也十分困难。

但是，材料的弹性效应在塑性动力响应中起多大影响的研究工作却一直都在进行。上文提到Symonds提出了忽略弹性的两个条件：即(1)输入结构的动能远远大于结构所能贮存的弹性应变能；(2)载荷作用时间远远小于结构自振的最小周期。

最近Symonds和Trye又分析了单自由度的质量弹簧模型，弹簧分别是理想弹塑性和刚塑性的。他们分析了在6种不同型式脉冲载荷作用下两种模型的动力响应。将最终位移之差，输入能量与最大弹性能之比(R)，以及载荷作用时间，画在同一张图上，最后得到两个主要结论：第一，上述条件(1)是刚塑必解逼近弹塑性解的必要条件，但不是充分的；第二，如果不满足上述条件(2)并且压力脉冲有一个非零的增长时间，则两个解的误差将相当大，但是随着R增加，误差相对减小。需要说明的是，Symonds分析的是单自由度的质量弹簧模型。

这些结论是否也适用于连续体的情况，或者只是连续体结论之中的一部分，这个问题似乎还需要进一步认识。

ForrestaI等提出的近似估计材料弹性效应在塑性动力响应中的影响的方法也很有特点，它不仅简单而且与实验非常符合，其基本思想与SEP方法有类似之处。他首先认为梁的初始阶段是弹性振动，并求出振动的弹性解，同时判断最大弯矩发生的截面，在某个时刻ty该截面产生初始屈服，然后梁进入弹塑性振动阶段。

通过对塑性区的形状作一些假设，并认为初始屈服时刻，梁所具有的动能全部消耗在塑性区内来建立能量平衡方程，最后求得梁的最终挠度。

这种近似估计法求解过程非常简单。如果材料是应变率敏感的，那就可以联立Cowprr-Symonds本构关系，求得相应的动屈服应力。他们对6061－T6铝材以及1018钢的简支梁受均布冲击载荷的实验表明，理论结果与实验符合很好。存在问题是这个方法在应用方面局限性很大(如对结构的约束条件有限制)，并对塑性区假设很大程度上是人为的，但是由于计算简单实用而受到人们的关注。

继Symonds和Fleming用有限元程序ABAQUS研究弹塑性悬臂梁端部受集中质量撞击的塑性动力响应以后，Reid和Gui重新用ABAQUS研究了这一问题。

横向剪力和转动惯量的影响 刚塑性动力响应的一阶近似理论并不考虑剪力对材料屈服的影响，也不考虑剪切转动惯量对平衡方程的影响。

这样的近似对于静载荷情况是比较容易接受的。除了深梁、中厚板、中厚壳以外，在横向静载的作用下，梁、板、壳、的内力主要表现仍然是弯矩和膜力。

但是，对于强动载荷作用下的结构，无论是理论还是实验都证实，剪力起着非常重要的作用，这就使结构有可能产生剪切破坏模式。根据刚塑性分析的1阶近理论，梁、板、壳在受到冲击载荷作用时，其载荷作用边界的初始剪力将达到无穷大。

Jones等通过理论分析后指出：(1)受均布冲击载荷的梁、板在支承处可能发生剪切破坏；(2)剪切在结构的高阶模态响应中起着重要作用；(3)剪切转动惯量在刚塑性动力响应中通常不起主要作用；Spencer和Jones对纤维增强形梁的研究结果表明，对各向异性梁的动力响应，剪力也起着重要作用。

一个有代表性的实例是王仁分析的简支薄板在冲击载荷作用下的刚塑性动力响应。

有限变形的影响 上面所谈到的剪力效应，实际上主要发生在响应初始阶段。与之相比，有限变形的影响却主要发生在响应的后期。

随着响应过程的发展，结构发生大的几何变形，由此往往导致膜力逐渐增大。受轴向约束的梁以及板、壳在受到横向动载作用时，这种现象非常突出。

一般地说，有限变形影响包含了对两类效应的研究。第1类是指结构在发生几何变形时诱导出的膜力对结构承载能力的影响。在这类问题中，支承对结构内部约束都较强。第2类是指几何构形变化引起平衡方程几何关系改变所造成的效应，这时结构所受的约束较弱，而膜力不起主要作用。

应变率效应 应变率的效应在塑性动力分析中起着极其重要的作用，特别是应变率敏感材料，在强动外载作用下，动态屈服应力比静屈服应力往往高出许多。因此，如果忽略应变率的影响，势必造成模型与实际问题的明显误差。但是怎样估计应变率的影响，使这种估计既能满足一般工程的要求，又不会导致计算过程的过分复杂，却是一个非常伤脑筋的问题。自60年代以来，许多学者为寻求一种简便而可靠的方法做过大量的工作。

然而直到今天，这项工作仍然没有得到满意解决。下面几项工作是比较令人振奋的。

(1)Cowpre-Symonds关系的应用：Cowper和Symonds发现材料的动态极限屈服应力(与应变率(ε)之间的关系可以通过一个简单的经验公式表示为

其中是静态极限屈服应力。在这个公式中只有两个待定常数D和P。

他们经过一系列的实验给出一些材料如软钢、铝合金等的常数值。

很显然这个方程的形式是Perzyna方程的一种特殊情况。

尽管Cowper-Symonds关系是经验性的，但是已经在塑性动力响应分析中得到了广泛应用，无论是解析结果还是数值结果都表明能够与实验符合。可是这并不等于问题已经解决，事实上，由于在响应过程中结构各点的应变率是随时间和空间而变化的，即使对于非常简单的结构分析过程也很复杂，所以在应用时，通常采取某一特征或平均应变率作为近似估计。

这自然就免不了具有一定的人为性。

(2)Perrone的工作：Perrone通过对两个单自由度构件塑性动力研究，发现在整个响应过程中动态极限屈服应力可以近似取为一个常数。这个常数由结构产生初始屈服时的应变率来确定(Cowper-Symonds关系)。他把精确解与近似解做了比较发现误差很小，后来他的结论被实验所证实。

材料和结构中缺陷的影响 在研究塑性动力响应问题时，一般并不考虑结构或材料中可能存在初始缺陷，如几何缺陷、裂纹、损伤、腐蚀等。而事实上材料和结构中存在初始缺陷是不可避免的。无疑，这些缺陷对结构的响应过程会产生重要影响，在某些情况下它们会导致结构承载能力和最终变形与缺陷结构显着不同。另一方面，缺陷在动载作用下的性质又是断裂动力学的一项研究内容。

余同希和华云龙在分析折梁对突加载荷的塑性动力响应时，发现过去常用的分析方法(即单铰模式)不能给出完全解，在某些条件下梁的部分区段要破坏极限屈服条件。为此他们引进了不稳定铰的概念，实际上这就是对载荷作一个上界估计。

华云龙、余同希和Reid在对受阶跃载荷作用的阶绨形梁的折梁进行分析时，引入了所谓“双铰模式”，获得了这个问题的完全解。在这一工作的基础上，杨嘉陵和华云龙等把这个模式推广到脉冲载荷的情形，并对含凹槽的直梁的刚塑性动力响应进行了讨论。

最近Reid、华云龙和杨嘉陵又获得了折梁受到面外脉冲载荷作用的完全解。

杨嘉陵和余同希通过分析在均布阶跃、脉冲和冲击载荷作用下，中点含缺陷的简支梁的刚塑性动力响应，发现缺陷对结构响应的影响主要表现在如下几个方面：(1)变形模式与完善结构有明显差异，缺陷处将出现固定铰；(2)缺陷处有明显的应变集中，耗散能分配在缺陷上的比例随着缺口加深而明显增大，这种状况很可能导致缺陷失稳，从而降低结构的承载能力；(3)存在着某些最危险情况，当结构参数满足一定条件时，外界输入能量将全部消耗在缺陷处。

(北京大学杨嘉陵、余同希、王仁撰)