正项级数的审敛法

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第208页（955字）

正项级数的定义 若级数中u_n≥0(n=1，2，…)，则称级数为正项级数．

正项级数收敛的充分必要条件 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列｛Sn｝有界，即存在正数M．对任意n，恒有

|S_n|=|u1+u₂+…+u_n|≤M．

比较审敛法 设和都是正项级数且u_n≤v_n(n=1，2，…)．若级数收敛，则级数也收敛；若级数发散，则也发散．用简略的语言叙述即“若大的级数收敛则小的级数也收敛；若小的级数发散则大的级数也发散”．

比较审敛法的极限形式 设及都是正项级数，如果

那么级数和级数同时收敛或同时发散．

当l=0时，由收敛，可知也收敛；

当l=+∞时，由发散，可知也发散．

p^－级数 级数称为p－级数．当p＞1时，级数收敛；当p≤1时，级数发散．

设正项级数，如果有p＞1，使，则级数收敛；如果有，则级数发散．

比值审敛法(或达朗贝尔(D’Alembert)审敛法) 若正项级数的后项与前项之比值的极限等于ρ，即

则当ρ＜1时，级数收敛；当ρ＞1时，级数发散；当ρ=1时，级数可能收敛也可能发散．

积分审敛法(柯西积分准则) 设为正项级数，若连续函数f(x)在区间［1，+∞)上单调递减，且u_n=f(n)(n=1，2，…)，则级数与广义积分有相同的收敛性．

拉阿伯审敛法 设为正项级数，如果

则当R＞1时，级数收敛；当R＜1时，级数发散；当R=1时，级数可能收敛也可能发散．